Endomorphismes semi-simples et diagonalisation

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ . On dit que $u$ est semi-simple si tout sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ admet un supplémentaire stable par $u$ .

Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de $E$ (stable ou non) admet un supplémentaire stable par $u$ .
Caractérisation du polynôme caractéristique scindé :
1. On suppose que le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$ . Montrer que tout sous-espace stable $F \neq \{0\}$ contient au moins un vecteur propre de $u$ .
2. Réciproquement, montrer que si tout sous-espace stable non réduit à $\{0\}$ contient au moins un vecteur propre, alors $\chi_u$ est scindé sur $K$ .
On suppose dans cette question que $\chi_u$ est scindé sur $K$ . Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u$ est semi-simple.
Soit $K = \mathbb{R}$ et $E = \mathbb{R}^2$ . On considère l'endomorphisme $u$ dont la matrice dans la base canonique est $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ . L'endomorphisme $u$ est-il semi-simple ? Est-il diagonalisable ?

1.

Pour le sens direct de la question 1, utiliser une base de vecteurs propres et le théorème de la base incomplète.

2.

Pour la question 2(a), considérer la restriction de $u$ à $F$ et son polynôme caractéristique. Pour la 2(b), procéder par l'absurde en considérant un facteur irréductible de degré $\ge 2$ .

3.

Pour la question 3, si $u$ est semi-simple, considérer la somme $F$ de tous les sous-espaces propres. Si $F \neq E$ , utiliser l'existence d'un supplémentaire stable et le résultat de la question 2.

4.

Pour la question 4, identifier les sous-espaces stables de $\mathbb{R}^2$ pour cette rotation.

Idées clés

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Lien entre diagonalisabilité et existence de bases de vecteurs propres.

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Propriété de la restriction d'un endomorphisme à un sous-espace stable.

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Structure des sous-espaces stables pour les endomorphismes semi-simples.

Résolution.

Sens direct ( $\implies$ ) : Supposons $u$ diagonalisable. Il existe une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$ . Soit $F$ un sous-espace vectoriel quelconque de $E$ . D'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter une base de $F$ en une base de $E$ en choisissant des vecteurs dans la famille génératrice $\mathcal{B}$ . Il existe donc une partie d'indices $J \subset \{1, \dots, n\}$ telle que : $\boxed{E = F \oplus \text{Vect}(e_j)_{j \in J}}$ Posons $G = \text{Vect}(e_j)_{j \in J}$ . Comme chaque $e_j$ est un vecteur propre de $u$ , chaque droite $\mathbb{K}e_j$ est stable par $u$ . Par conséquent, leur somme $G$ est également stable par $u$ . Sens réciproque ( $\impliedby$ ) : Si tout sous-espace admet un supplémentaire stable, alors en particulier tout sous-espace de dimension 1 admet un supplémentaire stable. Cette condition est plus forte que la semi-simplicité. Elle implique la diagonalisabilité (ceci sera démontré plus rigoureusement via la question 3).
1. Supposons $\chi_u$ scindé. Soit $F$ un sous-espace stable par $u$ tel que $F \neq \{0\}$ . Notons $u_F$ l'endomorphisme induit par la restriction de $u$ à $F$ . Le polynôme caractéristique $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$ . Comme $\chi_u$ est scindé, $\chi_{u_F}$ l'est aussi. $\chi_{u_F}$ admet donc au moins une racine $\lambda \in K$ , qui est une valeur propre de $u_F$ . Il existe donc $v \in F \setminus \{0\}$ tel que $u_F(v) = \lambda v$ , d'où $u(v) = \lambda v$ . $\boxed{F \text{ contient un vecteur propre de } u}$
2. Réciproquement, supposons que tout stable non nul contient un vecteur propre. Si $\chi_u$ n'était pas scindé, il possèderait un facteur irréductible $P$ de degré $d \ge 2$ . D'après le lemme des noyaux, $F = \ker P(u)$ est un sous-espace stable non nul (car $P$ divise le polynôme minimal). L'endomorphisme induit $u_F$ a pour polynôme minimal $P$ . Si $F$ contenait un vecteur propre associé à $\lambda$ , alors $(X-\lambda)$ diviserait le polynôme minimal $P$ , ce qui est exclu car $P$ est irréductible de degré $\ge 2$ . Ainsi, par contraposée, $\chi_u$ est scindé.
Sens direct ( $\implies$ ) : Si $u$ est diagonalisable, alors pour tout stable $F$ , on montre (par exemple en utilisant les projecteurs spectraux) que $F = \bigoplus (F \cap E_\lambda)$ . En prenant un supplémentaire de $F \cap E_\lambda$ dans chaque $E_\lambda$ , on construit un supplémentaire stable $G$ . Sens réciproque ( $\impliedby$ ) : Supposons $u$ semi-simple et $\chi_u$ scindé. Soit $S = \bigoplus_{\lambda \in \text{sp}(u)} E_\lambda$ la somme (directe) de tous les sous-espaces propres de $u$ . $S$ est un sous-espace stable par $u$ . Par semi-simplicité, il existe $G$ stable tel que : $\boxed{E = S \oplus G}$ Supposons par l'absurde que $G \neq \{0\}$ . Comme $\chi_u$ est scindé, d'après la question 2(a), le sous-espace stable $G$ contient un vecteur propre $v$ de $u$ . Ce vecteur $v$ appartient donc à l'un des sous-espaces propres $E_\lambda$ , d'où $v \in S$ . On en déduit $v \in S \cap G$ , donc $v = 0$ , ce qui est contradictoire avec la définition d'un vecteur propre. Ainsi, $G = \{0\}$ , donc $E = S$ , ce qui signifie que $u$ est diagonalisable.
Dans $\mathbb{R}^2$ , les seuls sous-espaces vectoriels sont $\{0\}$ , $\mathbb{R}^2$ et les droites vectorielles. La matrice $R$ n'admet aucune valeur propre réelle (son polynôme caractéristique est $X^2+1$ ). Il n'existe donc aucune droite stable par $u$ . Les seuls sous-espaces stables sont donc $\{0\}$ et $\mathbb{R}^2$ . Chacun admet un supplémentaire stable (lui-même pour $\{0\}$ , et réciproquement). Par conséquent : $\boxed{u \text{ est semi-simple mais n'est pas diagonalisable}}$ Ceci n'est pas contradictoire avec la question 3 car ici $\chi_u$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ .

Attention à ne pas oublier l'hypothèse " $\chi_u$ scindé" pour conclure à la diagonalisabilité. Le contre-exemple de la rotation montre que la semi-simplicité seule ne suffit pas sur un corps non algébriquement clos.