Diagonalisabilité d'un polynôme de matrice

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice dont le polynôme minimal est donné par :

\pi_{A} = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_{i})^{m_{i}}

où les complexes

\lambda_1, \dots, \lambda_r

sont les valeurs propres distinctes de

A

. Soit

P \in \mathbb{C}[X]

un polynôme.

Démontrer que la matrice $P(A)$ est diagonalisable si et seulement si, pour tout $i \in \llbracket 1, r \rrbracket$ , les dérivées successives de $P$ s'annulent en $\lambda_i$ jusqu'à l'ordre $m_i - 1$ :

\forall i \in \llbracket 1, r \rrbracket, \forall j \in \llbracket 1, m_{i}-1 \rrbracket,   P^{(j)}(\lambda_{i}) = 0

1.

Pour le sens réciproque, utiliser le lemme des noyaux pour décomposer l'espace en sous-espaces caractéristiques $N_i = \ker((A - \lambda_i I)^{m_i})$ . Étudier la restriction de $P(A)$ à chaque $N_i$ en utilisant la formule de Taylor pour les polynômes.

2.

Pour le sens direct, utiliser le fait que $P(A)$ est diagonalisable si et seulement si elle est annulée par un polynôme scindé à racines simples. Considérer $Q(X) = \prod_{\mu \in \text{Sp}(P(A))} (X - \mu)$ et étudier la multiplicité des racines de $Q \circ P$ .

Idées clés

•

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

•

Décomposition de l'espace en sous-espaces caractéristiques via le lemme des noyaux.

•

Lien entre la multiplicité d'une racine d'un polynôme et l'annulation de ses dérivées.

1. Condition suffisante.

Supposons que pour tout $i \in \llbracket 1, r \rrbracket$ et tout $j \in \llbracket 1, m_{i}-1 \rrbracket$ , on ait $P^{(j)}(\lambda_{i}) = 0$ .

D'après la formule de Taylor au point $\lambda_i$ , on peut écrire :

P(X) = \sum_{j=0}^{\deg P} \frac{P^{(j)}(\lambda_i)}{j!} (X - \lambda_i)^j

Compte tenu de l'hypothèse sur les dérivées, les termes de $1$ à $m_i - 1$ sont nuls, donc :

P(X) = P(\lambda_i) + (X - \lambda_i)^{m_i} \sum_{j=m_i}^{\deg P} \frac{P^{(j)}(\lambda_i)}{j!} (X - \lambda_i)^{j-m_i}

On en déduit qu'il existe un polynôme $R_i \in \mathbb{C}[X]$ tel que :

\boxed{P(X) - P(\lambda_i) = (X - \lambda_i)^{m_i} R_i(X)}

Considérons la décomposition de l'espace $\mathbb{C}^n$ issue du lemme des noyaux appliqué au polynôme minimal $\pi_A$ :

\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^r \ker(A - \lambda_i I)^{m_i}

Soit $x \in \ker(A - \lambda_i I)^{m_i}$ . En appliquant l'égalité polynomiale précédente à la matrice $A$ et au vecteur $x$ :

P(A)x = P(\lambda_i)x + R_i(A) \circ (A - \lambda_i I)^{m_i} x

Comme $(A - \lambda_i I)^{m_i} x = 0$ , on obtient $P(A)x = P(\lambda_i)x$ . Ainsi, la restriction de $P(A)$ à chaque sous-espace $\ker(A - \lambda_i I)^{m_i}$ est une homothétie.

Comme $\mathbb{C}^n$ est la somme directe de ces sous-espaces, $P(A)$ est diagonalisable dans une base adaptée à cette décomposition.

2. Condition nécessaire.

Supposons $P(A)$ diagonalisable. Soit $\{\mu_1, \dots, \mu_s\}$ l'ensemble des valeurs propres distinctes de $P(A)$ . Le polynôme $Q(X) = \prod_{k=1}^s (X - \mu_k)$ est scindé à racines simples et annule $P(A)$ .

On a donc $(Q \circ P)(A) = 0$ . Par définition du polynôme minimal, $\pi_A$ divise $Q \circ P$ :

\boxed{ \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_{i})^{m_{i}}   \text{divise}   Q(P(X)) }

Ceci implique que chaque $\lambda_i$ est une racine de $Q \circ P$ de multiplicité au moins $m_i$ . Par conséquent, pour tout $i \in \llbracket 1, r \rrbracket$ :

(Q \circ P)^{(j)}(\lambda_i) = 0   \text{pour}   j \in \llbracket 0, m_i - 1 \rrbracket

Analysons la première dérivée : $(Q \circ P)'(\lambda_i) = P'(\lambda_i) Q'(P(\lambda_i)) = 0$ . Or, $P(\lambda_i)$ est une valeur propre de $P(A)$ (car $\lambda_i \in \text{Sp}(A)$ ), donc $P(\lambda_i) \in \{\mu_1, \dots, \mu_s\}$ . Comme $Q$ est à racines simples, sa dérivée $Q'$ ne s'annule en aucune de ses racines, d'où $Q'(P(\lambda_i)) \neq 0$ .

On en déduit que $\boxed{P'(\lambda_i) = 0}$ .

Par récurrence, supposons que $P^{(1)}(\lambda_i) = \dots = P^{(k-1)}(\lambda_i) = 0$ pour un certain $k < m_i$ . La formule de la dérivée d'ordre $k$ d'une composée (formule de Faà di Bruno ou développement limité) montre que :

(Q \circ P)^{(k)}(\lambda_i) = Q'(P(\lambda_i)) P^{(k)}(\lambda_i) + \text{termes faisant intervenir } P^{(1)}(\lambda_i), \dots, P^{(k-1)}(\lambda_i)

Par hypothèse de récurrence, tous les termes suivants s'annulent, il reste :

(Q \circ P)^{(k)}(\lambda_i) = Q'(P(\lambda_i)) P^{(k)}(\lambda_i) = 0

Comme $Q'(P(\lambda_i)) \neq 0$ , on a $\boxed{P^{(k)}(\lambda_i) = 0}$ . La propriété est démontrée.

Ne pas confondre la multiplicité $m_i$ dans le polynôme minimal avec la multiplicité dans le polynôme caractéristique. L'exercice utilise spécifiquement le polynôme minimal pour caractériser la diagonalisabilité.