Endomorphismes dont le carré est un projecteur

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $\mathbb{K}$ de caractéristique différente de $2$ . On considère un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^2$ est un projecteur de $E$ .

Déterminer les valeurs propres possibles de $u$ .
Justifier que $u$ est toujours trigonalisable.
Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
1. $u$ est diagonalisable.
2. $u^3 = u$ .
3. $\operatorname{rg}(u) = \operatorname{rg}(u^2)$ .

1.

Un projecteur $p$ est caractérisé par la relation $p^2 = p$ . Utilisez cette relation pour trouver un polynôme annulateur de $u$ .

2.

Pour la trigonalisabilité, rappelez-vous qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique (ou un polynôme annulateur non nul) est scindé.

3.

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

4.

Pour le lien avec le rang, utilisez le théorème du rang et étudiez la suite des noyaux itérés.

Idées clés

•

Recherche d'un polynôme annulateur à partir de la définition d'un projecteur.

•

Lien entre racines du polynôme minimal et valeurs propres.

•

Critère de diagonalisation : racines simples du polynôme minimal.

•

Relation entre égalité des rangs et stabilité des noyaux itérés.

Résolution.

Par hypothèse, $u^2$ est un projecteur. Par définition, un projecteur $p$ vérifie $p^2 = p$ . On en déduit l'égalité : $(u^2)^2 = u^2$ , ce qui équivaut à $u^4 - u^2 = 0$ . Le polynôme $P(X) = X^4 - X^2 = X^2(X^2 - 1)$ est donc un polynôme annulateur de $u$ . Puisque la caractéristique du corps est différente de 2, on peut factoriser $P$ sous la forme : $\boxed{P(X) = X^2(X-1)(X+1)}$ Les valeurs propres de $u$ sont nécessairement des racines de tout polynôme annulateur. Ainsi, $\operatorname{Sp}(u) \subset \{0, 1, -1\}$ .
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ . Ici, $u$ possède un polynôme annulateur $P(X) = X^2(X-1)(X+1)$ . Ce polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{K}$ car les racines $0, 1, -1$ appartiennent à $\mathbb{K}$ (notons que $1 \neq -1$ car $\operatorname{char}(\mathbb{K}) \neq 2$ ). Puisque le polynôme minimal $M_u$ divise $P$ , $M_u$ est également scindé. $\boxed{M_u \text{ est scindé } \implies u \text{ est trigonalisable.}}$
Montrons les équivalences demandées.
(a) $\iff$ (b) : Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il possède un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ . D'après la question 1, les racines possibles du polynôme minimal sont $\{0, 1, -1\}$ . Le polynôme $Q(X) = X(X-1)(X+1) = X^3 - X$ est le candidat pour être un polynôme annulateur à racines simples. Si $u$ est diagonalisable, son polynôme minimal divise $X(X-1)(X+1)$ , donc $u^3 - u = 0$ . Réciproquement, si $u^3 - u = 0$ , alors $Q(X) = X(X-1)(X+1)$ est un polynôme annulateur de $u$ . Comme $Q$ est scindé à racines simples (les racines étant $0, 1, -1$ ), $u$ est diagonalisable. On a donc :
$\boxed{u \text{ est diagonalisable } \iff u^3 = u}$
(a) $\iff$ (c) : D'après le cours, comme le polynôme $P(X) = X^2(X-1)(X+1)$ annule $u$ , les seules racines multiples possibles de $M_u$ se situent en $0$ . Ainsi, $u$ est diagonalisable si et seulement si $0$ est une racine simple de $M_u$ (ou n'est pas racine). Cela équivaut à dire que $\ker(u) = \ker(u^2)$ . D'une part, on a toujours l'inclusion $\ker(u) \subset \ker(u^2)$ . D'autre part, en dimension finie, d'après le théorème du rang :
$\operatorname{dim} \ker(u) = n - \operatorname{rg}(u) \text{et} \operatorname{dim} \ker(u^2) = n - \operatorname{rg}(u^2)$ Par conséquent : $\ker(u) = \ker(u^2) \iff \operatorname{rg}(u) = \operatorname{rg}(u^2)$ On conclut : $\boxed{u \text{ est diagonalisable } \iff \operatorname{rg}(u) = \operatorname{rg}(u^2)}$

Ne pas oublier de vérifier que les racines du polynôme sont distinctes. Ici, $1 \neq -1$ et $1 \neq 0$ car la caractéristique du corps n'est pas 2. Si $\operatorname{char}(\mathbb{K}) = 2$ , alors $1 = -1$ et le polynôme devient $X^2(X-1)^2$ , ce qui change les conditions de diagonalisabilité.