Étude des matrices vérifiant $A^{k+1} = A^k$

= A^k$}

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée. On s'intéresse aux propriétés de $A$ lorsqu'une de ses puissances stabilise la suite des puissances suivantes.

On suppose dans cette question que $A^{3}=A^{2}$ $A^{3} = A^{2}$ .
1. Démontrer que la matrice $A^{2}$ est diagonalisable.
2. Établir que la matrice $A^{2}-A$ est nilpotente.
On suppose désormais qu'il existe un entier $k \geqslant 1$ tel que $A^{k+1}=A^{k}$ . Montrer qu'il existe un entier $p \geqslant 1$ tel que $A^{p}$ soit diagonalisable et que $A^{p}-A$ soit nilpotente. On pourra chercher une valeur de $p$ dépendant de $k$ .

1.

Pour la diagonalisabilité, montrer que $A^p$ est un projecteur en calculant $(A^p)^2$ pour un $p$ bien choisi. Un projecteur est toujours diagonalisable car annulé par $X^2-X$ .

2.

Pour la nilpotence, utiliser la formule du binôme de Newton sur $(A^p - A)^p$ .

3.

Remarquer que si $A^{k+1} = A^k$ , alors pour tout $j \geq k$ , on a $A^j = A^k$ .

Idées clés

•

Caractérisation des projecteurs par le polynôme annulateur $X^2-X$ .

•

Stabilité des puissances : si $A^{k+1}=A^k$ , alors la suite $(A^m)_{m \geq k}$ est constante.

•

Utilisation du binôme de Newton pour les matrices qui commutent.

Résolution.

Cas particulier $k=2$ :
1. Par hypothèse, $A^3 = A^2$ . En multipliant par $A$ , on obtient : $A^4 = A \cdot A^3 = A \cdot A^2 = A^3 = A^2$ On remarque alors que la matrice $B = A^2$ vérifie la relation : $\boxed{ B^2 = B }$ Le polynôme $P(X) = X^2 - X = X(X-1)$ est donc un polynôme annulateur de $A^2$ . Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ (les racines sont 0 et 1). D'après le cours sur la réduction, une matrice est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ainsi, $A^2$ est diagonalisable.
2. Calculons le carré de la matrice $A^2 - A$ : $(A^2 - A)^2 = (A^2)^2 - A^2 \cdot A - A \cdot A^2 + A^2$ En utilisant $A^4 = A^2$ et $A^3 = A^2$ , on obtient : $(A^2 - A)^2 = A^4 - A^3 - A^3 + A^2 = A^2 - A^2 - A^2 + A^2 = 0$ La matrice $A^2 - A$ est donc nilpotente (d'indice de nilpotence au plus 2). $\boxed{ (A^2 - A)^2 = 0 }$
Cas général : Supposons $A^{k+1} = A^k$ . Une récurrence immédiate montre que pour tout entier $j \geq k$ , on a $A^j = A^k$ . Posons $p = k$ . Puisque $k \geq 1$ , on a $2k \geq k$ , donc par la remarque précédente : $(A^p)^2 = A^{2k} = A^k = A^p$ La matrice $A^p$ est donc un projecteur. Comme tout projecteur, elle est annulée par $X^2-X$ , donc : $\boxed{ A^p \text{ est diagonalisable} }$ Étudions maintenant la nilpotence de $A^p - A$ . Comme $A^p$ et $A$ commutent, nous pouvons appliquer la formule du binôme de Newton pour calculer $(A^p - A)^p$ : $(A^p - A)^p = \sum_{j=0}^{p} \binom{p}{j} (A^p)^{p-j} (-A)^j$ Analysons chaque terme de la somme pour $p=k$ : $(A^k - A)^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^j A^{j + k(k-j)}$ Soit $m_j = j + k^2 - jk$ l'exposant de $A$ dans le terme d'indice $j$ . - Si $j=k$ , alors $m_k = k$ . On a $A^{m_k} = A^k$ . - Si $0 \leq j < k$ , alors $m_j = k^2 - j(k-1)$ . Comme $j \leq k-1$ , on a : $m_j \geq k^2 - (k-1)(k-1) = k^2 - (k^2 - 2k + 1) = 2k - 1$ Comme $k \geq 1$ , on a $2k-1 \geq k$ . Dans tous les cas, $m_j \geq k$ , donc $A^{m_j} = A^k$ . La somme devient alors : $(A^k - A)^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^j A^k = \left( \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^j \right) A^k$ D'après la formule du binôme pour les scalaires, $\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^j = (1-1)^k = 0$ . On en conclut : $\boxed{ (A^k - A)^k = 0 }$ La matrice $A^p - A$ est bien nilpotente pour $p=k$ .

Attention à ne pas affirmer que $A$ elle-même est diagonalisable. L'énoncé montre seulement qu'une certaine puissance $A^p$ l'est. Par exemple, si $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ , on a $A^2 = 0$ , donc $A^2$ est diagonalisable (c'est la matrice nulle), mais $A$ ne l'est pas.