Endomorphismes vérifiant une relation polynomiale

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur $\mathbb{R}$ et $p \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme.

Justifier que si $p$ vérifie $p^{2}=p$ ou $p^{3}=p$ , alors $p$ est diagonalisable.
L'endomorphisme $p$ est-il nécessairement diagonalisable si l'on suppose $p^{4}=p$ ?
On se place dans le cas $n=3$ . Déterminer une partie finie $S \subset \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ de cardinal minimal telle que tout endomorphisme $p$ satisfaisant $p^{4}=p$ soit représentable par une matrice de $S$ dans une base convenablement choisie.

1.

Utiliser le critère de diagonalisabilité portant sur l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

2.

Pour la question 2, factoriser le polynôme $X^4-X$ dans $\mathbb{R}[X]$ et chercher un contre-exemple en dimension 2.

3.

Pour la question 3, classer les endomorphismes par leur polynôme caractéristique. Puisque $p$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ , sa classe de similitude sur $\mathbb{R}$ est entièrement déterminée par son spectre (avec multiplicités).

Idées clés

•

Critère polynomial : $u$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ ssi il possède un polynôme annulateur scindé à racines simples dans $\mathbb{K}$ .

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Lien entre spectre complexe et réduction réelle pour les matrices semi-simples.

•

Utilisation des matrices compagnons pour les facteurs irréductibles de degré 2.

Résolution.

Cas $p^2=p$ : L'endomorphisme $p$ est annulé par le polynôme $P(X) = X^2 - X = X(X-1)$ . Les racines de $P$ sont $\{0, 1\}$ . Elles sont réelles et simples. D'après le cours, l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ assure que : $\boxed{p \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{R}.}$
Cas $p^3=p$ : L'endomorphisme $p$ est annulé par $Q(X) = X^3 - X = X(X-1)(X+1)$ . Les racines de $Q$ sont $\{0, 1, -1\}$ . Elles sont réelles et simples. Par le même argument :
$\boxed{p \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{R}.}$
Considérons la relation $p^4 = p$ . Le polynôme annulateur associé est $R(X) = X^4 - X$ . Factorisons $R$ dans $\mathbb{R}[X]$ : $R(X) = X(X^3 - 1) = X(X-1)(X^2 + X + 1)$ Le facteur $X^2 + X + 1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$ car son discriminant $\Delta = 1 - 4 = -3$ est strictement négatif. Si le polynôme minimal de $p$ est exactement $X^2+X+1$ , alors $p$ n'a aucune valeur propre réelle. Un tel endomorphisme ne peut pas être diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (en dimension $n \geq 2$ ). Contre-exemple : Prenons $n=2$ et $p$ dont la matrice dans la base canonique est la matrice compagnon de $X^2+X+1$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix}$ On vérifie que $A^2 + A + I = 0$ , donc $A^3 = I$ , d'où $A^4 = A$ . Pourtant, $A$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ car elle n'admet aucune valeur propre réelle.
L'endomorphisme $p$ $p$ vérifie $p^4-p=0$ $p^{4} - p = 0$ . Dans $\mathbb{C}[X]$ $C [X]$ , $X^4-X = X(X-1)(X-j)(X-j^2)$ $X^{4} - X = X (X - 1) (X - j) (X - j^{2})$ où $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ $j = e^{i \frac{2 π}{3}}$ . Le polynôme $R$ $R$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{C}$ $C$ , donc $p$ $p$ est diagonalisable dans $\mathcal{L}(E_\mathbb{C})$ $L (E_{C})$ . En dimension finie, deux endomorphismes réels semi-simples (diagonalisables sur $\mathbb{C}$ $C$ ) sont semblables sur $\mathbb{R}$ $R$ si et seulement si ils ont le même polynôme caractéristique $\chi_p$ $χ_{p}$ . Cherchons tous les polynômes de degré 3, à coefficients réels, dont les racines appartiennent à $\{0, 1, j, j^2\}$ ${0, 1, j, j^{2}}$ . Comme $\chi_p \in \mathbb{R}[X]$ $χ_{p} \in R [X]$ , si $j$ $j$ est racine de multiplicité $m$ $m$ , alors $\bar{j} = j^2$ $\overset{ˉ}{j} = j^{2}$ est racine avec la même multiplicité $m$ $m$ . Notons $n_0, n_1, n_j$ $n_{0}, n_{1}, n_{j}$ les multiplicités respectives de $0, 1$ $0, 1$ et $j$ $j$ . On a :
$n_0 + n_1 + 2n_j = 3 \text{avec } n_0, n_1, n_j \in \mathbb{N}$
Listons les solutions $(n_0, n_1, n_j)$ $(n_{0}, n_{1}, n_{j})$ possibles :
- $n_j = 0$ : on doit avoir $n_0 + n_1 = 3$ . Les couples $(n_0, n_1)$ possibles sont $(3,0), (2,1), (1,2), (0,3)$ . Cela correspond aux matrices diagonales.
- $n_j = 1$ : on doit avoir $n_0 + n_1 = 1$ . Les couples possibles sont $(1,0)$ et $(0,1)$ .
Il y a donc $4 + 2 = 6$ $4 + 2 = 6$ classes de similitude. Le cardinal minimal est $\boxed{6}$ $6$ . Pour construire $S$ $S$ , on utilise des blocs diagonaux et la matrice $C = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix}$ $C = (01 - 1 - 1)$ associée au facteur $X^2+X+1$ $X^{2} + X + 1$ :
$S = \left\{ \text{diag}(0,0,0), \text{diag}(1,0,0), \text{diag}(1,1,0), \text{diag}(1,1,1), \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right\}$

L'erreur classique est d'oublier que la diagonalisabilité dépend du corps de base. $p$ est toujours diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ici, mais pas sur $\mathbb{R}$ . Un autre piège est d'oublier que les racines complexes d'un polynôme réel viennent par paires conjuguées.