Réduction et polynôme annulateur à racine double

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ une matrice vérifiant la relation polynomiale :

A^{3}-5 A^{2}+8 A-4 I_{n}=0

Montrer que la matrice $A$ est diagonalizable si, et seulement si, elle vérifie l'équation : $A^{2}-3 A+2 I_{n}=0$
On suppose dans cette question que la matrice $A$ $A$ n'est pas diagonalizable et que sa trace vaut $\operatorname{tr}(A)=7$ $tr (A) = 7$ .
1. Déterminer les valeurs possibles pour l'entier $n$ .
2. Pour chaque valeur de $n$ trouvée, déterminer la dimension des sous-espaces propres et des sous-espaces caractéristiques de $A$ .
On suppose à présent que $A$ n'est pas diagonalizable et que $\operatorname{tr}(A)=8$ . Caractériser les classes de similitude des matrices $A$ satisfaisant ces conditions.

1.

Factoriser le polynôme $P(X) = X^3 - 5X^2 + 8X - 4$ pour identifier les valeurs propres possibles et le lien avec la diagonalisabilité.

2.

Utiliser le lemme des noyaux pour décomposer l'espace et exprimer la trace en fonction des dimensions des sous-espaces caractéristiques.

3.

Se souvenir qu'une matrice est diagonalizable si et seulement si son polynôme minimal est à racines simples.

4.

Pour la question 3, utiliser la décomposition de l'espace associée au polynôme minimal pour décrire la structure de $A$ .

Idées clés

•

Lien entre racines simples du polynôme minimal et diagonalisabilité.

•

Utilisation du lemme des noyaux pour définir les sous-espaces caractéristiques.

•

Relation entre la trace et les multiplicités des valeurs propres (somme des racines du polynôme caractéristique).

Résolution.

Posons $P(X) = X^3 - 5X^2 + 8X - 4$ . On remarque que $P(1) = 1 - 5 + 8 - 4 = 0$ . En effectuant la division euclidienne de $P$ par $(X-1)$ , on obtient : $P(X) = (X-1)(X^2 - 4X + 4) = (X-1)(X-2)^2$ Le polynôme minimal $m_A$ de $A$ divise $P$ . Les valeurs propres de $A$ sont donc incluses dans l'ensemble $\{1, 2\}$ . D'après le cours, $A$ est diagonalizable si et seulement si $m_A$ est scindé à racines simples. Les diviseurs de $P$ dont les racines sont simples sont les produits de facteurs distincts parmi $(X-1)$ et $(X-2)$ . Tous ces diviseurs divisent le polynôme $Q(X) = (X-1)(X-2) = X^2 - 3X + 2$ . Par conséquent, $A$ est diagonalizable si et seulement si $Q(A) = 0$ , ce qui se traduit par : $\boxed{A^2 - 3A + 2I_n = 0}$
On suppose $A$ $A$ non diagonalizable, donc $m_A$ $m_{A}$ possède au moins une racine multiple. Au vu de la factorisation de $P$ $P$ , la seule possibilité est que $(X-2)^2$ $(X - 2)^{2}$ divise $m_A$ $m_{A}$ . D'après le lemme des noyaux appliqué à $P(A)=0$ $P (A) = 0$ , on a :
$\mathbb{C}^n = \ker(A-I_n) \oplus \ker((A-2I_n)^2)$
Posons $N_1 = \ker(A-I_n)$ $N_{1} = ker (A - I_{n})$ et $N_2 = \ker((A-2I_n)^2)$ $N_{2} = ker ((A - 2 I_{n})^{2})$ . Ces espaces sont les sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres 1 et 2 (si elles existent). Notons $n_1 = \dim(N_1)$ $n_{1} = dim (N_{1})$ et $n_2 = \dim(N_2)$ $n_{2} = dim (N_{2})$ . On a $n_1 + n_2 = n$ $n_{1} + n_{2} = n$ . Puisque $(X-2)^2$ $(X - 2)^{2}$ divise le polynôme minimal, l'espace $N_2$ $N_{2}$ ne peut pas être réduit au vecteur nul, et la restriction de $A$ $A$ à $N_2$ $N_{2}$ n'est pas l'homothétie $2\cdot Id_{N_2}$ $2 \cdot I d_{N_{2}}$ . Ainsi, $n_2 \geq 2$ $n_{2} \geq 2$ .
La trace de $A$ est la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité dans le polynôme caractéristique. Ici, la multiplicité de 1 est $n_1$ et celle de 2 est $n_2$ . On a donc :
$\operatorname{tr}(A) = 1 \cdot n_1 + 2 \cdot n_2 = 7$
1. Nous avons le système suivant avec $n_1 \in \mathbb{N}$ et $n_2 \in \mathbb{N}, n_2 \geq 2$ : $n_1 + 2n_2 = 7$ - Si $n_2 = 2$ , alors $n_1 = 7 - 4 = 3$ . D'où $n = n_1 + n_2 = 5$ . - Si $n_2 = 3$ , alors $n_1 = 7 - 6 = 1$ . D'où $n = n_1 + n_2 = 4$ . Si $n_2 \geq 4$ , alors $2n_2 \geq 8 > 7$ , ce qui est impossible car $n_1 \geq 0$ . Les valeurs possibles de $n$ sont donc : $\boxed{n \in \{4, 5\}}$
2. Cas $n=4$ : On a $n_1 = 1$ et $n_2 = 3$ . Les dimensions des sous-espaces caractéristiques sont : $\boxed{\dim(N_1) = 1, \dim(N_2) = 3}$ Pour les sous-espaces propres : $E_1(A) = N_1$ , donc $\dim(E_1) = 1$ . Pour $E_2(A) = \ker(A-2I_n)$ , comme $A$ n'est pas diagonalizable mais que sa restriction à $N_2$ est annulée par $(X-2)^2$ , on sait que $1 \leq \dim(E_2) < n_2$ . Ainsi, $\dim(E_2) \in \{1, 2\}$ .
  Cas $n=5$ : On a $n_1 = 3$ et $n_2 = 2$ . Les dimensions des sous-espaces caractéristiques sont :
  $\boxed{\dim(N_1) = 3, \dim(N_2) = 2}$ Pour les sous-espaces propres : $\dim(E_1) = n_1 = 3$ . Pour $E_2(A)$ , on doit avoir $1 \leq \dim(E_2) < n_2 = 2$ , donc : $\boxed{\dim(E_2) = 1}$
Supposons $\operatorname{tr}(A) = 8$ et $A$ non diagonalizable. On a toujours $n_1 + 2n_2 = 8$ avec $n_2 \geq 2$ . Les couples $(n_1, n_2)$ possibles sont $(4, 2)$ , $(2, 3)$ et $(0, 4)$ . La matrice $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs $\text{diag}(I_{n_1}, B)$ où $B \in M_{n_2}(\mathbb{C})$ vérifie $(B-2I_{n_2})^2 = 0$ avec $B \neq 2I_{n_2}$ . En posant $N = B-2I_{n_2}$ , $N$ est une matrice nilpotente d'indice 2. Les classes de similitude sont déterminées par $n_1$ (nombre de fois où la valeur propre 1 apparaît) et par la structure de la partie nilpotente $N$ sur $N_2$ . Par exemple, si $n_2=2$ , $N$ est nécessairement de rang 1, semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ . La matrice $A$ est alors semblable à : $\boxed{\text{diag}(I_{n_1}, \begin{pmatrix} 2 & 1 0 & 2 \end{pmatrix})}$ avec $n_1=4$ et $n=6$ . Les autres cas ( $n_2=3, 4$ ) se traitent de façon analogue en dénombrant les rangs possibles pour $A-2I$ sur $N_2$ .

Ne pas oublier que la dimension du sous-espace propre est toujours inférieure ou égale à celle du sous-espace caractéristique. Le fait que la matrice ne soit pas diagonalizable impose une inégalité stricte pour au moins une valeur propre (ici, celle dont le facteur dans le polynôme minimal est de puissance $>1$ ).