Matrices et relation trace-puissance

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ vérifiant la relation suivante :

A^{2} = (\operatorname{tr} A) A + I_{n}

Démontrer que la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .
Déterminer l'ensemble des entiers $n \in \mathbb{N}^*$ pour lesquels il existe une telle matrice $A$ .

1.

Pour la question 1, introduire le polynôme $P(X) = X^2 - (\operatorname{tr} A) X - 1$ . Vérifier s'il est annulateur pour $A$ et étudier ses racines (existence et multiplicité).

2.

Pour la question 2, utiliser le fait qu'une matrice diagonalisable voit sa trace égale à la somme de ses valeurs propres (comptées avec multiplicité). Poser $t = \operatorname{tr} A$ et exprimer les valeurs propres en fonction de $t$ .

3.

En notant $n_1$ et $n_2$ les multiplicités respectives des deux valeurs propres de $A$ , traduire la condition sur la trace en une équation sur $t$ .

4.

Analyser pour quelles valeurs de $n = n_1 + n_2$ cette équation admet une solution réelle $t$ .

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur à racines réelles simples.

•

Lien entre trace et spectre d'une matrice diagonalisable.

•

Résolution d'une équation paramétrée par les multiplicités des valeurs propres.

1. Étude de la diagonalisabilité de $A$ .

Soit $t = \operatorname{tr}(A)$ . La relation de l'énoncé s'écrit $A^2 - tA - I_n = 0$ . On définit le polynôme $P(X) = X^2 - tX - 1$ . Par hypothèse, $P$ est un polynôme annulateur de $A$ .

Le discriminant de ce polynôme du second degré est :

\Delta = t^2 + 4

Puisque $t \in \mathbb{R}$ (car $A$ est à coefficients réels), on a $t^2 \ge 0$ , donc $\Delta \ge 4 > 0$ . Le polynôme $P$ possède ainsi deux racines réelles distinctes :

\lambda_1 = \frac{t + \sqrt{t^2+4}}{2}   \text{et}   \lambda_2 = \frac{t - \sqrt{t^2+4}}{2}

Le polynôme annulateur $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ . D'après le cours sur la réduction, on en déduit immédiatement :

\boxed{A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

2. Recherche des entiers $n$ possibles.

Étape 1 : Expression de la trace. Puisque $A$ est diagonalisable, son spectre $\operatorname{Sp}(A)$ est inclus dans l'ensemble des racines de son polynôme annulateur $P$ . Ainsi, $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \{\lambda_1, \lambda_2\}$ .

Soient $n_1$ et $n_2$ les multiplicités respectives de $\lambda_1$ et $\lambda_2$ en tant que valeurs propres de $A$ . On a $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ et $n_1 + n_2 = n$ . La trace de $A$ est égale à la somme de ses valeurs propres :

t = n_1 \lambda_1 + n_2 \lambda_2

Étape 2 : Analyse de l'équation sur $t$ . En remplaçant $\lambda_1$ et $\lambda_2$ par leurs expressions, on obtient :

t = n_1 \left( \frac{t + \sqrt{t^2+4}}{2} \right) + n_2 \left( \frac{t - \sqrt{t^2+4}}{2} \right)

En multipliant par 2 et en regroupant les termes en $t$ :

2t = (n_1 + n_2)t + (n_1 - n_2)\sqrt{t^2+4}

Comme $n_1 + n_2 = n$ , l'équation devient :

(2-n)t = (n_1 - n_2)\sqrt{t^2+4}

Posons $k = n_1 - n_2$ . On remarque que $k \equiv n \pmod 2$ . L'équation s'écrit :

(2-n)t = k\sqrt{t^2+4}

Étape 3 : Discussion selon $n$ .

Cas 1 : $n = 2$ . L'équation devient $0 = k\sqrt{t^2+4}$ . Comme $\sqrt{t^2+4} \neq 0$ , cela impose $k = 0$ . Alors $n_1 - n_2 = 0$ et $n_1 + n_2 = 2$ , donc $n_1 = n_2 = 1$ . Dans ce cas, l'égalité $t = t$ est toujours vérifiée pour n'importe quel $t \in \mathbb{R}$ . Il existe bien de telles matrices (par exemple une matrice compagnon ou une matrice diagonale bien choisie).

Cas 2 : $n \neq 2$ . On peut élever l'équation au carré :

(n-2)^2 t^2 = k^2 (t^2+4) \iff t^2 [ (n-2)^2 - k^2 ] = 4k^2

Pour qu'il existe une solution réelle $t$ , il est nécessaire que $4k^2$ et $(n-2)^2 - k^2$ soient de même signe. Si $k=0$ , alors $t=0$ . Cela implique que $n$ est pair (car $k \equiv n \pmod 2$ ). Ainsi, tout $n$ pair est solution (pour $t=0$ ).

Si $k \neq 0$ , on doit avoir $(n-2)^2 - k^2 > 0$ (car $t^2 \ge 0$ et $4k^2 > 0$ ). Cela revient à $|k| < |n-2|$ . Or $k = n_1 - n_2$ , donc la valeur maximale de $|k|$ est $n$ (quand l'un des $n_i$ est nul).

- Pour $n=1$ : $k \in \{1, -1\}$ . On testerait $|k| < |1-2|=1$ , soit $1 < 1$ , impossible. - Pour $n=3$ : $k \in \{1, -1, 3, -3\}$ . On testerait $|k| < |3-2|=1$ , soit $|k| < 1$ , impossible. - Pour $n=5$ : $k \in \{1, -1, 3, -3, 5, -5\}$ . On teste $|k| < |5-2|=3$ . On peut choisir $k=1$ (i.e., $n_1=3, n_2=2$ ). L'équation $(2-5)t = 1\sqrt{t^2+4}$ possède une solution $t = -1/\sqrt{2}$ .

Plus généralement, pour tout $n \ge 4$ , il existe toujours un $k \in \{n, n-2, \dots, -n\}$ tel que $|k| < |n-2|$ . Par exemple, si $n$ est pair, $k=0$ convient. Si $n$ est impair ( $n \ge 5$ ), $k=1$ convient.

\boxed{n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1, 3\}}

Ne pas oublier de vérifier si le signe de $t$ est cohérent avec l'équation $(2-n)t = k\sqrt{t^2+4}$ après avoir élevé au carré. Si on trouve $t^2$ , il faut choisir le signe de $t$ qui correspond au signe de $k/(2-n)$ .