Diagonalisabilité de la comatrice

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On note $\text{com}(M)$ la comatrice d'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Déterminer l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telles que $\text{com}(M)$ soit diagonalisable sur $\mathbb{K}$ .

1.

Commencer par traiter les cas $n=1$ (trivial) puis supposer $n \geq 2$ .

2.

Utiliser la relation fondamentale $M \cdot {}^t\text{com}(M) = \det(M) I_n$ pour étudier le cas où $M$ est inversible.

3.

Discuter selon le rang de $M$ pour les cas non inversibles en utilisant les propriétés du rang de la comatrice :

4.

Si $\text{rg}(M) = n$ , alors $\text{rg}(\text{com}(M)) = n$ .

5.

Si $\text{rg}(M) = n-1$ , alors $\text{rg}(\text{com}(M)) = 1$ .

6.

Si $\text{rg}(M) \leq n-2$ , alors $\text{rg}(\text{com}(M)) = 0$ .

7.

Pour une matrice de rang 1, utiliser le critère de diagonalisabilité lié à la trace.

8.

Faire le lien entre $\text{Tr}(\text{com}(M))$ et le polynôme caractéristique $\chi_M$ .

Idées clés

•

Relation entre une matrice inversible et sa comatrice.

•

Propriétés du rang : $\text{rg}(\text{com}(M))$ est déterminé par $\text{rg}(M)$ .

•

Diagonalisabilité des matrices de rang 1 (une matrice de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle).

Résolution.

Le cas $n=1$ est immédiat : $\text{com}(M) = (1)$ pour toute matrice $M$ , donc $\text{com}(M)$ est toujours diagonalisable.

On suppose désormais $n \geq 2$ . On traite l'exercice par une analyse selon le rang de $M$ .

Cas 1 : $M$ est inversible ( $\text{rg$ (M) = n $rg (M) = n$ ).}

Dans ce cas, on utilise la relation $M \cdot {}^t\text{com}(M) = \det(M) I_n$ , ce qui donne :

\text{com}(M) = \det(M) \cdot ({}^t M)^{-1}

On sait qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si sa transposée l'est, et si et seulement si son inverse (si elle existe) l'est.

De plus, multiplier par un scalaire non nul ne change pas la diagonalisabilité.

Ainsi, $\text{com}(M)$ est diagonalisable si et seulement si $M$ est diagonalisable.

\boxed{ \text{Si } \text{rg}(M)=n, \text{com}(M) \text{ est diag. } \iff M \text{ est diag. } }

Cas 2 : $\text{rg$ (M) \leq n-2 $rg (M) \leq n - 2$ .}

Par définition, si le rang de $M$ est inférieur ou égal à $n-2$ , tous les mineurs d'ordre $n-1$ sont nuls.

Par conséquent, la comatrice est la matrice nulle :

\text{com}(M) = 0

La matrice nulle étant diagonalisable, toutes ces matrices conviennent.

\boxed{ \text{Si } \text{rg}(M) \leq n-2, \text{com}(M) \text{ est toujours diagonalisable.} }

Cas 3 : $\text{rg$ (M) = n-1 $rg (M) = n - 1$ .}

Si le rang de $M$ est $n-1$ , alors le rang de sa comatrice est exactement $1$ .

Soit $A = \text{com}(M)$ . Puisque $\text{rg}(A) = 1$ , $A$ est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.

Or, on sait que pour toute matrice $M$ , la trace de sa comatrice est liée au polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(XI_n - M)$ :

\chi_M(X) = X^n - \text{Tr}(M) X^{n-1} + \dots + (-1)^{n-1} \text{Tr}(\text{com}(M)) X + (-1)^n \det(M)

Comme $M$ n'est pas inversible, $\det(M) = 0$ . On note $s_{n-1}(M) = \text{Tr}(\text{com}(M))$ .

La comatrice est diagonalisable si et seulement si $s_{n-1}(M) \neq 0$ .

Géométriquement, $s_{n-1}(M) \neq 0$ signifie que $0$ est une racine simple du polynôme caractéristique $\chi_M$ .

Puisque $\dim(\ker M) = n - \text{rg}(M) = 1$ , la multiplicité géométrique de la valeur propre $0$ est $1$ .

La condition " $0$ est racine simple " équivaut donc à dire que la multiplicité algébrique de $0$ est égale à sa multiplicité géométrique (soit $1$ ), ce qui revient à dire que $\ker(M) \cap \text{Im}(M) = \{0\}$ .

\boxed{ \text{Si } \text{rg}(M)=n-1, \text{com}(M) \text{ est diag. } \iff 0 \text{ est racine simple de } \chi_M }

Conclusion.

L'ensemble des matrices recherchées est constitué :

Des matrices inversibles et diagonalisables sur $\mathbb{K}$ .
Des matrices de rang inférieur ou égal à $n-2$ .
Des matrices de rang $n-1$ dont $0$ est une valeur propre simple.

L'erreur classique consiste à croire que $M$ doit forcément être diagonalisable. Pourtant, si $\text{rg}(M) = n-1$ et que $0$ est une valeur propre simple, la comatrice est diagonalisable (car elle est de rang 1 et de trace non nulle), même si $M$ possède d'autres valeurs propres qui ne sont pas "diagonalisables" (par exemple si le bloc de $M$ sur son image n'est pas diagonalisable).