Diagonalisabilité d'une matrice par blocs de rang 2

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère deux vecteurs $C \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ et $L \in \mathcal{M}_{1, n}(\mathbb{R})$ .

On définit la matrice par blocs $M$ de taille $(n+1) \times (n+1)$ par :

M=\left(\begin{array}{cc} 0_n & C L & 0 \end{array}\right)

où

0_n

désigne la matrice nulle de taille

n \times n

et le

0

en bas à droite est un scalaire.

À quelle condition nécessaire et suffisante sur $C$ et $L$ la matrice $M$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ?

1.

Commencer par calculer les puissances de $M$ , en particulier $M^2$ et $M^3$ .

2.

Introduire le scalaire $\alpha = LC$ et exprimer $M^3$ en fonction de $M$ et $\alpha$ .

3.

Utiliser le lien entre diagonalisabilité et existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

4.

Discuter selon le signe du produit scalaire $\alpha = LC$ et traiter avec soin le cas de la nilpotence.

Idées clés

•

Recherche d'un polynôme annulateur par calcul de blocs.

•

Étude du spectre et des dimensions des sous-espaces propres.

•

Condition de diagonalisabilité pour les matrices nilpotentes.

1. Calcul d'un polynôme annulateur.

Effectuons le produit par blocs pour déterminer $M^2$ :

M^2 = \begin{pmatrix} 0_n & C L & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0_n & C L & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} CL & 0_{n,1} 0_{1,n} & LC \end{pmatrix}

Notons $\alpha = LC \in \mathbb{R}$ la valeur du bloc scalaire en bas à droite. Calculons maintenant $M^3$ :

M^3 = M^2 \cdot M = \begin{pmatrix} CL & 0 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & C L & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (CL)C \alpha L & 0 \end{pmatrix}

Comme le produit de matrices est associatif, $(CL)C = C(LC) = \alpha C$ . On en déduit :

\boxed{M^3 = \alpha M}

Ainsi, le polynôme $P(X) = X^3 - \alpha X = X(X^2 - \alpha)$ est un polynôme annulateur de $M$ .

2. Analyse selon la valeur de $\alpha$ .

Cas 1 : $\alpha > 0$ . Les racines de $P$ sont $\{0, \sqrt{\alpha}, -\sqrt{\alpha}\}$ . Elles sont réelles et distinctes deux à deux. Puisque $M$ possède un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ , on conclut que :

\boxed{\text{Si } LC > 0, M \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{R}}

Cas 2 : $\alpha < 0$ . Le polynôme $P$ se factorise sur $\mathbb{R}$ en $X(X^2 + |\alpha|)$ . Ses racines sont $\{0, i\sqrt{|\alpha|}, -i\sqrt{|\alpha|}\}$ . Le polynôme minimal $\mu_M$ de $M$ divise $P$ . Comme $\alpha \neq 0$ , on a $M \neq 0$ et $M^2 \neq 0$ . Donc $\mu_M$ doit admettre des racines non réelles parmi les racines de $P$ . $\mu_M$ n'étant pas scindé sur $\mathbb{R}$ , la matrice $M$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ . (Elle est toutefois diagonalisable sur $\mathbb{C}$ car ses racines sont simples).

Cas 3 : $\alpha = 0$ . Dans ce cas, $P(X) = X^3$ . La matrice $M$ est donc nilpotente. Une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle.

M = 0 \iff C = 0 \text{ et } L = 0

3. Synthèse des conditions.

D'après l'étude précédente, $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ si et seulement si :

$LC > 0$
OU $C = 0$ et $L = 0$ (auquel cas $M=0$ )

Vérifions si les cas où l'un des deux seulement est nul sont inclus. Si $C=0$ et $L \neq 0$ , alors $LC=0$ (donc $\alpha=0$ ) mais $M \neq 0$ . $M$ n'est pas diag. Si $L=0$ et $C \neq 0$ , alors $LC=0$ (donc $\alpha=0$ ) mais $M \neq 0$ . $M$ n'est pas diag.

Conclusion finale :

\boxed{M \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{R} \iff (LC > 0) \text{ ou } (C=0 \text{ et } L=0)}

Attention à ne pas conclure trop vite que $M$ est diagonalisable dès que $LC = 0$ . Dans ce cas, $M$ est nilpotente et ne peut être diagonalisable que si elle est la matrice nulle. Le simple fait que $LC=0$ n'implique pas que $M$ est nulle (penser au cas où $C$ et $L$ sont orthogonaux mais non nuls).