Diagonalisation par conjugaison complexe

Démonstration du sens (1) $\implies$ (2).

Supposons qu'il existe $D = \text{diag}(d_1, \dots, d_n)$ et $S \in GL_n(\mathbb{C})$ tels que $A = S D \bar{S}^{-1}$.

En prenant le conjugué, on obtient $\bar{A} = \bar{S} \bar{D} S^{-1}$. Calculons alors le produit $A \bar{A}$ :

La matrice $D \bar{D}$ est une matrice diagonale dont les coefficients sont les $|d_j|^2$. On en déduit immédiatement :

• $A \bar{A}$ est semblable à une matrice diagonale, donc elle est diagonalisable.
• Les valeurs propres de $A \bar{A}$ sont les $|d_j|^2$, qui sont des réels positifs ou nuls.

Concernant le rang, on sait que multiplier par une matrice inversible ne change pas le rang :

Comme $D \bar{D}$ est diagonale, son rang est le nombre de ses coefficients non nuls. Or $|d_j|^2 \neq 0$ si et seulement si $d_j \neq 0$. Ainsi, $\operatorname{rg}(D \bar{D}) = \operatorname{rg}(D)$. Comme $A$ est semblable à $D$ (via une transformation de type $S \dots \bar{S}^{-1}$ qui préserve le rang), on a :

Démonstration du sens (2) $\implies$ (1).

Considérons l'application $f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ définie par $f(X) = A \bar{X}$. Cette application est $\mathbb{C}$-semi-linéaire (elle est $\mathbb{R}$-linéaire et $f(\lambda X) = \bar{\lambda} f(X)$).

Calculons son itérée seconde pour $X \in \mathbb{C}^n$ :

Ainsi, $f^2$ est l'endomorphisme $\mathbb{C}$-linear associé à la matrice $M = A \bar{A}$. Par hypothèse, $M$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels positifs. On peut noter ces valeurs propres $\lambda_j = \alpha_j^2$ avec $\alpha_j \geq 0$.

On a la décomposition de $\mathbb{C}^n$ en somme directe de sous-espaces propres pour $f^2$ :

Étude du noyau : L'hypothèse $\operatorname{rg}(A\bar{A}) = \operatorname{rg}(A)$ implique, par le théorème du rang, que $\dim \ker(A\bar{A}) = \dim \ker(A)$. Comme on a toujours l'inclusion $\ker(A) \subset \ker(A\bar{A})$, on en déduit :

Sur ce sous-espace, $f(X) = A\bar{X} = 0$. Toute base de $\ker(M)$ convient pour diagonaliser la restriction de $f$.

Étude des espaces propres associés à $\alpha^2 > 0$ : Soit $V = E_{\alpha^2}(M)$ pour un $\alpha > 0$. Comme $f$ et $f^2$ commutent, $f$ stabilise $V$. Soit $g = \frac{1}{\alpha} f$ la restriction de $f$ à $V$ renormalisée. Alors $g$ est semi-linéaire et :

Considérons $V$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et définissons $F = \{ X \in V \mid g(X) = X \}$. $F$ est un $\mathbb{R}$-sous-espace vectoriel. Pour tout $X \in V$, on peut écrire :

Le premier terme est dans $F$, le second est dans $\ker(g + \text{Id})$. De plus, $X \in \ker(g + \text{Id}) \iff g(X) = -X \iff g(iX) = -i g(X) = iX \iff iX \in F$. On a donc $V = F \oplus iF$, ce qui signifie que toute $\mathbb{R}$-base de $F$ est une $\mathbb{C}$-base de $V$.

Soit $\mathcal{B}_V$ une telle base. Dans cette base, $g$ agit comme l'identité, donc $f$ agit comme la multiplication par $\alpha$. La matrice de la restriction de $f$ dans cette base est $\alpha I$.

Conclusion : En concaténant les bases obtenues pour chaque sous-espace, on forme une $\mathbb{C}$-base de $\mathbb{C}^n$ dans laquelle la matrice de l'application semi-linéaire $f$ est une matrice diagonale réelle $D$ à coefficients positifs. Si $S$ est la matrice de passage de la base canonique vers cette base, la formule de changement de base pour une application semi-linéaire donne :