Diagonalisabilité d'un opérateur de dérivation

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}_n[X]$ . Pour tout polynôme $A \in \mathbb{R}_n[X]$ , on définit l'application $\varphi_{A}$ par :

\forall P \in E,   \varphi_{A}(P) = (A P)^{(n)}

où

(AP)^{(n)}

désigne la dérivée

n

-ième du produit

AP

.

Justifier que $\varphi_{A}$ est un endomorphisme de $E$ .
À quelle condition nécessaire et suffisante sur le polynôme $A$ l'endomorphisme $\varphi_{A}$ est-il diagonalizable ?

1.

Commencer par vérifier que le degré du polynôme image ne dépasse pas $n$ .

2.

Étudier la matrice de $\varphi_A$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^n)$ .

3.

Distinguer les cas selon le degré de $A$ : si $\deg(A) = n$ , s'intéresser aux éléments diagonaux ; si $\deg(A) < n$ , s'intéresser à la nilpotence.

4.

Utiliser le fait qu'un endomorphisme nilpotent est diagonalizable si et seulement s'il est nul.

Idées clés

•

Stabilité du degré par l'opérateur $\varphi_A$ .

•

Structure triangulaire de la matrice de l'endomorphisme dans la base canonique.

•

Caractérisation des endomorphismes nilpotents diagonalisables.

1. Nature de l'application $\varphi_A$ .

Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$ . Comme $\deg(A) \le n$ et $\deg(P) \le n$ , le produit $AP$ est un polynôme de degré au plus $2n$ .

Par dérivation $n$ -ième, on obtient :

\deg(\varphi_A(P)) = \deg\left( (AP)^{(n)} \right) \le 2n - n = n

L'image de tout polynôme de $E$ est donc dans $E$ . La linéarité de la dérivation et de la multiplication par $A$ assure la linéarité de $\varphi_A$ .

\boxed{\varphi_A \in \mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

2. Condition de diagonalisabilité.

Soit $\mathcal{B} = (1, X, \dots, X^n)$ la base canonique de $E$ . Notons $A = \sum_{i=0}^n a_i X^i$ . Pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ , on calcule $\varphi_A(X^k)$ :

\varphi_A(X^k) = \left( \sum_{i=0}^n a_i X^{i+k} \right)^{(n)} = \sum_{i=0}^n a_i (X^{i+k})^{(n)}

Le terme $(X^{i+k})^{(n)}$ est nul si $i+k < n$ . Si $i+k \ge n$ , on a :

(X^{i+k})^{(n)} = \frac{(i+k)!}{(i+k-n)!} X^{i+k-n}

Cas 1 : $\deg(A) = n$ .

Supposons $a_n \neq 0$ . Pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ , le terme de plus haut degré de $\varphi_A(X^k)$ est obtenu pour $i=n$ :

\varphi_A(X^k) = a_n \frac{(n+k)!}{k!} X^k + \sum_{i=n-k}^{n-1} a_i \frac{(i+k)!}{(i+k-n)!} X^{i+k-n}

Dans la base $\mathcal{B}$ , la matrice de $\varphi_A$ est donc supérieurement triangulaire. Ses coefficients diagonaux sont :

\lambda_k = a_n \frac{(n+k)!}{k!}   \text{pour } k \in \{0, \dots, n\}

Vérifions si ces valeurs propres sont distinctes. Soit $f : k \mapsto \frac{(n+k)!}{k!}$ .

\frac{f(k+1)}{f(k)} = \frac{(n+k+1)!}{(k+1)!} \frac{k!}{(n+k)!} = \frac{n+k+1}{k+1} > 1

La suite $(\lambda_k)$ est donc strictement monotone (croissante ou décroissante selon le signe de $a_n$ ). Les $n+1$ valeurs propres sont distinctes.

\boxed{\text{Si } \deg(A) = n, \varphi_A \text{ est diagonalizable.}}

Cas 2 : $\deg(A) < n$ .

Si $d = \deg(A) < n$ , alors pour tout $k$ et tout $i \le d$ , le degré de $(X^{i+k})^{(n)}$ est $i+k-n \le d+k-n < k$ . La matrice de $\varphi_A$ dans $\mathcal{B}$ est alors strictement supérieurement triangulaire.

L'unique valeur propre de $\varphi_A$ est $0$ . $\varphi_A$ est donc un endomorphisme nilpotent. Un endomorphisme nilpotent est diagonalizable si et seulement s'il est nul.

Si $A = 0$ , alors $\varphi_A = 0$ , qui est trivialement diagonalizable.
Si $A \neq 0$ , soit $d = \deg(A) \in \{0, \dots, n-1\}$ . Considérons $P = X^{n-d} \in E$ . $\varphi_A(P) = (A X^{n-d})^{(n)}$ Le polynôme $AX^{n-d}$ est de degré exactement $d + (n-d) = n$ . Sa dérivée $n$ -ième est donc une constante non nulle (égale à $a_d \cdot n!$ ). Ainsi $\varphi_A \neq 0$ .

L'endomorphisme n'est donc pas diagonalizable dans ce sous-cas, sauf si $A=0$ .

Conclusion.

\boxed{\varphi_A \text{ est diagonalizable si et seulement si } \deg(A) = n \text{ ou } A = 0}

Ne pas oublier le cas $A=0$ . Même si le degré de $0$ est souvent noté $-\infty$ , l'endomorphisme nul est toujours diagonalizable. Un autre piège est de ne pas justifier que les valeurs propres $\lambda_k$ sont distinctes dans le cas $\deg(A)=n$ .