Caractérisation d'une somme de matrices à produits nuls

Déterminer l'ensemble $E$ des matrices $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ pouvant s'écrire sous la forme $M = A + B$ , où $A$ et $B$ sont deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ vérifiant les relations suivantes :

A^{2} = A,   B^{2} = 2B   \text{et}   AB = BA = 0

1.

Commencer par exprimer les puissances de $M$ en fonction de $A$ et $B$ pour trouver un polynôme annulateur de $M$ .

2.

Utiliser la condition $AB=BA=0$ pour simplifier le calcul de $(A+B)^k$ .

3.

Pour la réciproque, si $M$ est diagonalisable avec un spectre inclus dans $\{0, 1, 2\}$ , utiliser les projecteurs spectraux associés aux valeurs propres pour construire $A$ et $B$ .

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur scindé à racines simples pour prouver la diagonalisabilité.

•

Construction de matrices par décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces propres.

Analyse : condition nécessaire.

Soit $M \in E$ . Il existe $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que $M = A+B$ avec $A^2=A$ , $B^2=2B$ et $AB=BA=0$ .

Calculons les premières puissances de $M$ . On a $M^1 = A + B$ .

Comme $A$ et $B$ commutent (car $AB=BA=0$ ), on peut utiliser la formule du binôme ou simplement développer :

M^2 = (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + 0 + 0 + 2B = A + 2B

Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout entier $k \geq 1$ :

\boxed{M^k = A + 2^{k-1}B}

Considérons alors le polynôme $P(X) = X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X$ . Évaluons ce polynôme en $M$ :

P(M) = M^3 - 3M^2 + 2M

En remplaçant par les expressions trouvées précédemment :

P(M) = (A + 4B) - 3(A + 2B) + 2(A + B)

P(M) = (1 - 3 + 2)A + (4 - 6 + 2)B = 0 \cdot A + 0 \cdot B = 0

Le polynôme $P(X) = X(X-1)(X-2)$ est un polynôme annulateur de $M$ . Comme $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , la matrice $M$ est diagonalisable.

De plus, les valeurs propres de $M$ sont nécessairement parmi les racines de $P$ . On en déduit que :

\boxed{Sp(M) \subseteq \{0, 1, 2\}}

Synthèse : condition suffisante.

Réciproquement, soit $M$ une matrice diagonalisable dont le spectre est inclus dans $\{0, 1, 2\}$ . Notons $E_0, E_1$ et $E_2$ les sous-espaces propres associés respectivement aux valeurs propres $0, 1$ et $2$ .

Comme $M$ est diagonalisable, l'espace $\mathbb{C}^n$ est la somme directe de ces sous-espaces :

\mathbb{C}^n = E_0 \oplus E_1 \oplus E_2

Définissons l'endomorphisme $u$ associé à $A$ et $v$ associé à $B$ par leurs actions sur cette base adaptée :

Sur $E_1$ , $u$ agit comme l'identité et $v$ est nul.
Sur $E_2$ , $u$ est nul et $v$ agit comme l'homothétie de rapport $2$ .
Sur $E_0$ , $u$ et $v$ sont nuls.

Par construction, $u$ est le projecteur sur $E_1$ parallèlement à $E_0 \oplus E_2$ . Ainsi $A^2 = A$ . De même, $v/2$ est le projecteur sur $E_2$ parallèlement à $E_0 \oplus E_1$ , donc $(B/2)^2 = B/2$ , ce qui donne $B^2 = 2B$ .

Les images de $u$ et $v$ sont $E_1$ et $E_2$ . Comme $E_1 \cap E_2 = \{0\}$ , et que chaque endomorphisme s'annule sur l'image de l'autre par définition, on a :

\boxed{AB = BA = 0}

Enfin, vérifions la somme $A+B$ sur chaque sous-espace :

Sur $E_0$ : $(A+B)x = 0+0 = 0 = Mx$ .
Sur $E_1$ : $(A+B)x = x+0 = x = Mx$ .
Sur $E_2$ : $(A+B)x = 0+2x = 2x = Mx$ .

L'égalité $M = A+B$ est donc vérifiée sur tout l'espace.

Conclusion.

L'ensemble recherché est :

\boxed{E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid M \text{ est diagonalisable et } Sp(M) \subseteq \{0, 1, 2\} \}}

Il ne faut pas oublier de mentionner que $M$ doit être diagonalisable. Une matrice dont le spectre est $\{0, 1, 2\}$ n'est pas forcément dans $E$ si elle n'est pas diagonalisable (bien qu'ici, avoir 3 valeurs propres distinctes en dimension 3 assurerait la diagonalisabilité, ce n'est pas vrai en dimension supérieure ou si certaines valeurs propres sont absentes).