Diagonalisation d'un opérateur de composition

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur le corps $\mathbb{Q}$ .

On considère un projecteur $p \in \mathcal{L}(E)$ et on définit l'application $\Phi$ sur $\mathcal{L}(E)$ par :

\forall u \in \mathcal{L}(E),   \Phi(u) = u \circ p + p \circ u

L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable ?

1.

Utiliser la décomposition de l'espace $E = \text{im}(p) \oplus \ker(p)$ pour représenter les éléments de $\mathcal{L}(E)$ par blocs.

2.

Chercher un polynôme annulateur simple pour l'endomorphisme $\Phi$ .

3.

Étudier les valeurs propres possibles de $\Phi$ en testant des endomorphismes $u$ particuliers adaptés à la décomposition de $E$ .

Idées clés

•

Décomposition de l'espace $E$ selon l'image et le noyau du projecteur.

•

Représentation matricielle par blocs des endomorphismes de $\mathcal{L}(E)$ .

•

Utilisation d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

1. Choix d'une base adaptée.

Puisque $p$ est un projecteur, nous savons que l'espace $E$ se décompose sous la forme :

E = \text{im}(p) \oplus \ker(p)

Soit $n = \dim E$ et $r = \text{rg}(p)$ . On choisit une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, e_{r+1}, \dots, e_n)$ de $E$ telle que $(e_1, \dots, e_r)$ est une base de $\text{im}(p)$ et $(e_{r+1}, \dots, e_n)$ est une base de $\ker(p)$ .

Dans cette base, la matrice de $p$ est de la forme :

M(p) = \begin{pmatrix} I_r & 0 0 & 0 \end{pmatrix}

2. Action de $\Phi$ sur les blocs.

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . On décompose sa matrice $M(u)$ dans la base $\mathcal{B}$ en quatre blocs :

M(u) = \begin{pmatrix} A & B C & D \end{pmatrix}

où

A \in \mathcal{M}_r(\mathbb{Q})

,

B \in \mathcal{M}_{r, n-r}(\mathbb{Q})

,

C \in \mathcal{M}_{n-r, r}(\mathbb{Q})

et

D \in \mathcal{M}_{n-r}(\mathbb{Q})

.

Calculons les produits matriciels correspondant aux compositions $u \circ p$ et $p \circ u$ :

M(u \circ p) = \begin{pmatrix} A & B C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 C & 0 \end{pmatrix}

M(p \circ u) = \begin{pmatrix} I_r & 0 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B 0 & 0 \end{pmatrix}

On en déduit la matrice de $\Phi(u)$ :

M(\Phi(u)) = \begin{pmatrix} A & 0 C & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} A & B 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2A & B C & 0 \end{pmatrix}

3. Identification des éléments propres.

Considérons les quatre sous-espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ suivants :

$V_{1,1} = \{ u \in \mathcal{L}(E) \mid M(u) = \begin{pmatrix} A & 0 0 & 0 \end{pmatrix} \}$ . Pour $u \in V_{1,1}$ , $\Phi(u) = 2u$ .
$V_{1,0} = \{ u \in \mathcal{L}(E) \mid M(u) = \begin{pmatrix} 0 & B 0 & 0 \end{pmatrix} \}$ . Pour $u \in V_{1,0}$ , $\Phi(u) = u$ .
$V_{0,1} = \{ u \in \mathcal{L}(E) \mid M(u) = \begin{pmatrix} 0 & 0 C & 0 \end{pmatrix} \}$ . Pour $u \in V_{0,1}$ , $\Phi(u) = u$ .
$V_{0,0} = \{ u \in \mathcal{L}(E) \mid M(u) = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & D \end{pmatrix} \}$ . Pour $u \in V_{0,0}$ , $\Phi(u) = 0$ .

Ces sous-espaces sont en somme directe et leur somme est égale à $\mathcal{L}(E)$ car toute matrice se décompose de manière unique selon ces quatre blocs.

4. Conclusion sur la diagonalisabilité.

D'après l'étude précédente, les éléments non nuls de ces sous-espaces sont des vecteurs propres de $\Phi$ pour les valeurs propres respectives $2, 1, 1$ et $0$ .

L'espace $\mathcal{L}(E)$ est donc égal à la somme des sous-espaces propres de $\Phi$ associés aux valeurs propres $\{0, 1, 2\}$ .

Plus précisément, si on définit le polynôme $P(X) = X(X-1)(X-2)$ , on vérifie par le calcul par blocs que :

\boxed{P(\Phi) = 0}

Le polynôme $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{Q}$ et il annule $\Phi$ .

\boxed{\text{L'endomorphisme } \Phi \text{ est diagonalisable.}}

Ne pas confondre la diagonalisabilité de $p$ (qui est acquise car c'est un projecteur) avec celle de $\Phi$ . Il faut bien travailler dans l'espace $\mathcal{L}(E)$ , qui est de dimension $n^2$ .