Diagonalisation de matrices blocs alternées

Résolution.

1. Calculons le polynôme caractéristique de $B$. Par définition, pour $x \in \mathbb{C}$ :
   $$\chi_B(x) = \det(x I_{2n} - B) = \det \begin{pmatrix} x I_n & -A$$
   -I_n & x I_n \end{pmatrix}
   Comme les blocs $x I_n$ et $-I_n$ commutent, nous pouvons appliquer la formule du déterminant par blocs :
   $$\chi_B(x) = \det( (x I_n)(x I_n) - (-I_n)(-A) )$$
   On obtient alors :
   $$\boxed{\chi_B(x) = \det(x^2 I_n - A) = \chi_A(x^2)}$$

2. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ et $Z = \begin{pmatrix} X$
   Y \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2n} avec $X, Y \in \mathbb{C}^n$. L'équation $BZ = \lambda Z$ est équivalente au système :
   $$\begin{cases} AY = \lambda X$$
   X = \lambda Y \end{cases} \iff \begin{cases} X = \lambda Y
   AY = \lambda^2 Y \end{cases}
   Premier cas : $\lambda \neq 0$. L'application $Y \mapsto \begin{pmatrix} \lambda Y$
   Y \end{pmatrix} est un isomorphisme de $E_{\lambda^2}(A)$ vers $E_\lambda(B)$. On en déduit :
   $$\boxed{\text{si } \lambda \neq 0,   \dim E_\lambda(B) = \dim E_{\lambda^2}(A)}$$
   Second cas : $\lambda = 0$. Le système devient $X=0$ et $AY=0$. Ainsi $E_0(B) = \{ \begin{pmatrix} 0$
   Y \end{pmatrix} \mid Y \in \ker A \}. D'où :
   $$\boxed{\dim E_0(B) = \dim \ker A}$$

3. Condition nécessaire. Supposons $B$ diagonalisable. Comme $B$ est diagonalisable, alors $B^2$ l'est aussi. Or :
   $$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & A$$
   I & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & A
   I & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0
   0 & A \end{pmatrix}
   Une matrice bloc-diagonale est diagonalisable si et seulement si chaque bloc l'est. Donc $A$ est diagonalisable. De plus, pour toute matrice diagonalisable $M$, on a $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^2)$. Ici :
   $$\text{rg}(B) = n + \text{rg}(A)   \text{et}   \text{rg}(B^2) = 2\text{rg}(A)$$
   L'égalité $n + \text{rg}(A) = 2\text{rg}(A)$ implique $\text{rg}(A) = n$. Donc $A$ est inversible. Condition suffisante. Supposons $A$ diagonalisable et inversible. Soit $\mu_1, \dots, \mu_k$ les valeurs propres distinctes de $A$. Comme $A$ est inversible, $\mu_j \neq 0$ pour tout $j$. Chaque $\mu_j$ possède deux racines carrées distinctes dans $\mathbb{C}$, notées $\pm \sqrt{\mu_j}$. D'après la question 1, le spectre de $B$ est $\text{Sp}(B) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda^2 \in \text{Sp}(A) \}$. Les valeurs propres de $B$ sont donc les $\lambda_{j,+} = \sqrt{\mu_j}$ et $\lambda_{j,-} = -\sqrt{\mu_j}$. Toutes ces valeurs propres sont non nulles et distinctes deux à deux (car $\mu_j \neq 0$ et les $\mu_j$ sont distincts). D'après la question 2, pour chaque $j \in \{1, \dots, k\}$ :
   $$\dim E_{\lambda_{j,+}}(B) = \dim E_{\mu_j}(A)   \text{et}   \dim E_{\lambda_{j,-}}(B) = \dim E_{\mu_j}(A)$$
   La somme des dimensions des sous-espaces propres de $B$ est :
   $$\sum_{j=1}^k \left( \dim E_{\lambda_{j,+}}(B) + \dim E_{\lambda_{j,-}}(B) \right) = 2 \sum_{j=1}^k \dim E_{\mu_j}(A)$$
   Comme $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est diagonalisable, $\sum \dim E_{\mu_j}(A) = n$. La somme des dimensions pour $B$ est donc $2n$, ce qui prouve que $B$ est diagonalisable.