Réduction de l'opérateur reste d'un produit

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère un polynôme $A \in \mathbb{K}_{n+1}[X]$ de degré $n+1$ et un polynôme $B \in \mathbb{K}[X]$ . Pour tout $P \in \mathbb{K}_n[X]$ , on note $f(P)$ le reste de la division euclidienne du produit $BP$ par $A$ .

Justifier que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}_n[X]$ .
On note $D = \text{pgcd}(A, B)$ $D = pgcd (A, B)$ .
1. Déterminer le noyau de $f$ à l'aide de $D$ . En déduire sa dimension.
2. Caractériser l'image de $f$ par une relation de divisibilité.
Dans cette question, on suppose que $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ $K = C$ et que $A$ $A$ possède $n+1$ $n + 1$ racines distinctes $\alpha_0, \dots, \alpha_n$ $α_{0}, \dots, α_{n}$ .
1. Déterminer le spectre de $f$ ainsi que les sous-espaces propres associés.
2. L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
Application numérique : On pose $n=3$ $n = 3$ , $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ $K = R$ , $A = X^4 - X$ $A = X^{4} - X$ et $B = X^4 - 1$ $B = X^{4} - 1$ .
1. Expliciter $ker(f)$ et $im(f)$ .
2. Déterminer le spectre de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
3. $f$ est-il diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ? Est-il trigonalisable sur $\mathbb{R}$ ?

1.

Pour le noyau, utiliser la définition de la division euclidienne : $f(P) = 0$ si et seulement si $A$ divise $BP$ . Utiliser ensuite le lemme de Gauss en posant $A = DA_1$ et $B = DB_1$ .

2.

Pour l'image, remarquer que tout élément $f(P)$ est un multiple de $D$ car $D$ divise à la fois $A$ et $BP$ . Utiliser un argument de dimension.

3.

Pour le spectre, chercher les polynômes $P$ tels que $BP \equiv \lambda P \pmod A$ . Utiliser les polynômes d'interpolation de Lagrange aux racines de $A$ .

4.

Pour l'application numérique, factoriser $X^4-X$ sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ , et calculer les valeurs de $B$ aux racines de $A$ .

Idées clés

•

Relation de divisibilité : $P \in ker(f) \iff A \mid BP$ .

•

Théorème du rang pour l'image.

•

Base de Lagrange : Si $A$ est à racines simples, les polynômes de Lagrange forment une base de vecteurs propres.

Résolution.

Par définition de la division euclidienne, pour tout $P \in \mathbb{K}_n[X]$ , il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $BP = AQ + R$ avec $\deg R < \deg A = n+1$ . L'application $f$ est bien définie de $\mathbb{K}_n[X]$ vers $\mathbb{K}_n[X]$ car $\deg f(P) \le n$ . La linéarité découle de l'unicité du reste : si $BP_1 = AQ_1 + R_1$ and $BP_2 = AQ_2 + R_2$ , alors $B(\lambda P_1 + P_2) = A(\lambda Q_1 + Q_2) + (\lambda R_1 + R_2)$ . Comme $\deg(\lambda R_1 + R_2) \le n$ , on a bien $f(\lambda P_1 + P_2) = \lambda f(P_1) + f(P_2)$ .
1. $P \in ker(f) \iff BP \equiv 0 \pmod A \iff A \mid BP$ . Posons $A = D A_1$ et $B = D B_1$ avec $\text{pgcd}(A_1, B_1) = 1$ . La condition devient : $DA_1 \mid DB_1 P \iff A_1 \mid B_1 P$ D'après le lemme de Gauss, comme $A_1 \land B_1 = 1$ , cela équivaut à $A_1 \mid P$ . Ainsi, $\boxed{ker(f) = A_1 \cdot \mathbb{K}_{\deg D - 1}[X]}$ . La dimension est donc $\dim ker(f) = \deg A - \deg A_1 = \boxed{\deg D}$ .
2. On a $f(P) = BP - AQ$ . Comme $D \mid A$ and $D \mid B$ , alors $D \mid f(P)$ . Ainsi, $im(f) \subset \{ R \in \mathbb{K}_n[X] : D \mid R \}$ . L'espace de droite est de dimension $(n+1) - \deg D$ . D'après le théorème du rang, $\dim im(f) = (n+1) - \dim ker(f) = (n+1) - \deg D$ . Par égalité des dimensions et inclusion, $\boxed{im(f) = \{ R \in \mathbb{K}_n[X] : D \mid R \}}$ .
1. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ et $P \neq 0$ tel que $f(P) = \lambda P$ . Cela signifie $BP \equiv \lambda P \pmod A$ , donc $A \mid (B-\lambda)P$ . Si $P(\alpha_i) \neq 0$ pour un certain $i$ , alors l'évaluation en $\alpha_i$ donne $(B(\alpha_i) - \lambda)P(\alpha_i) = 0$ , donc $\lambda = B(\alpha_i)$ . Réciproquement, soit $L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X-\alpha_j}{\alpha_i-\alpha_j}$ le $i$ -ème polynôme de Lagrange associé aux racines de $A$ . On a $B L_i \equiv B(\alpha_i) L_i \pmod{(X-\alpha_i)}$ et pour tout $j \neq i$ , $B L_i \equiv 0 \equiv B(\alpha_i) L_i \pmod{(X-\alpha_j)}$ . Comme les racines sont simples, $B L_i \equiv B(\alpha_i) L_i \pmod A$ . Ainsi $f(L_i) = B(\alpha_i) L_i$ . Les valeurs propres sont les $\boxed{\lambda_i = B(\alpha_i)}$ et les vecteurs propres associés sont les $L_i$ .
2. La famille $(L_0, \dots, L_n)$ forme une base de $\mathbb{C}_n[X]$ constituée de vecteurs propres de $f$ . Par conséquent, $\boxed{f \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{C}}$ .
1. $A = X(X-1)(X^2+X+1)$ et $B = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ . Le pgcd est $D = X-1$ . On a $A_1 = \frac{A}{D} = X(X^2+X+1) = X^3+X^2+X$ . $\boxed{ker(f) = \text{Vect}(X^3+X^2+X)}$ et $\boxed{im(f) = \{ P \in \mathbb{R}_3[X] : P(1) = 0 \}}$ .
2. Les racines de $A$ sont $\{0, 1, j, j^2\}$ . Le spectre sur $\mathbb{C}$ est $\{B(0), B(1), B(j), B(j^2)\}$ . $B(0) = -1$ , $B(1) = 0$ . $B(j) = j^4-1 = j-1$ et $B(j^2) = j^2-1$ . Les valeurs propres réelles sont donc $\boxed{Sp_{\mathbb{R}}(f) = \{-1, 0\}}$ .
3. Le polynôme caractéristique est $\chi_f = (X-B(0))(X-B(1))(X-B(j))(X-B(j^2))$ . Calculons $(X-(j-1))(X-(j^2-1)) = (X+1-j)(X+1-j^2)$ . En posant $Y = X+1$ , on a $(Y-j)(Y-j^2) = Y^2+Y+1 = (X+1)^2+(X+1)+1 = X^2+3X+3$ . D'où $\boxed{\chi_f = X(X+1)(X^2+3X+3)}$ . Le discriminant de $X^2+3X+3$ est $9-12 = -3 < 0$ . $\chi_f$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ . $\boxed{f \text{ n'est ni diagonalisable, ni trigonalisable sur } \mathbb{R}}$ .

Attention à la définition du spectre. Sur $\mathbb{R}$ , on ne conserve que les valeurs propres réelles. Si le polynôme caractéristique possède des racines complexes non réelles, l'endomorphisme n'est même pas trigonalisable sur $\mathbb{R}$ .