Matrice de cycle pondérée | WikiPrépa Maths

Soit $n \geq 2$ et $(a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n$ . On considère la matrice $M$ définie par :

M = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & a_n a_1 & \ddots & \vdots & 0 \vdots & \ddots & 0 & \vdots 0 & \dots & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix}

À quelle condition nécessaire et suffisante sur les coefficients $a_1, \dots, a_n$ la matrice $M$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ?

1.

Calculer les puissances de $M$ , en particulier $M^n$ .

2.

Utiliser un polynôme annulateur simple.

3.

Étudier séparément le cas où le produit des coefficients est nul ou non.

Idées clés

•

Lien entre diagonalisabilité et existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

Calcul de $M^n$ pour une matrice de permutation pondérée associée à un cycle.

Résolution.

Soit $u$ l'endomorphisme associé à $M$ . On a $u(e_1) = a_1 e_2$ , $u(e_2) = a_2 e_3, \dots, u(e_{n-1}) = a_{n-1} e_n$ et $u(e_n) = a_n e_1$ .

Calculons l'image de $e_1$ par les itérés de $u$ :

u^2(e_1) = a_1 a_2 e_3,   u^3(e_1) = a_1 a_2 a_3 e_4, \dots, u^n(e_1) = (a_1 a_2 \dots a_n) e_1

Par symétrie de rôle des vecteurs de la base, on obtient que $u^n$ est une homothétie :

M^n = \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) I_n

Notons $P = \prod_{i=1}^n a_i$ .

Cas 1 : $P \neq 0$ . Le polynôme $Q(X) = X^n - P$ est un polynôme annulateur de $M$ . Comme $P \neq 0$ , ce polynôme admet $n$ racines complexes distinctes (les racines $n$ -ièmes de $P$ ). Un polynôme annulateur de $M$ étant scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , la matrice $M$ est diagonalisable.

Cas 2 : $P = 0$ . Dans ce cas, $M^n = 0$ , donc $M$ est une matrice nilpotente. Une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle. Or $M = 0$ si et seulement si $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$ .

Conclusion. La matrice $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ si et seulement si :

\boxed{ \prod_{i=1}^n a_i \neq 0   \text{ou}   a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0 }

L'erreur classique est d'oublier que si $P=0$ , la matrice peut être non nulle tout en étant nilpotente (par exemple si un seul $a_i$ est nul). Dans ce cas, elle n'est pas diagonalisable.