Dimension maximale sur le corps des complexes

Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale $d_n(\mathbb{C})$ d'un sous-espace de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ constitué de matrices diagonalisables.

Cas $n=3$ : Étude préliminaire des matrices nilpotentes. Soit $N \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ une matrice nilpotente non nulle. Montrer que $N$ est semblable à l'une des deux matrices suivantes : $J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ou} J_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Cas $n=2$ sur $\mathbb{C$ C.} Soit $E$ $E$ un sous-espace de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ $M_{2} (C)$ ne contenant que des matrices diagonalisables.
1. Montrer que si $E$ contient une matrice de rang 1, celle-ci est semblable à $\begin{pmatrix} \lambda & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$ avec $\lambda \neq 0$ .
2. Soit $J = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$ . On suppose que $J \in E$ . Soit $A = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \in E$ . Étudier le discriminant du polynôme caractéristique de $A + tJ$ pour $t \in \mathbb{C}$ .
3. En déduire que $d_2(\mathbb{C}) = 2$ .
Cas $n=3$ sur $\mathbb{C$ $C$ .} On admet que $d_n(\mathbb{C}) = n$ (Théorème de Motzkin-Taussky). Comparer $d_n(\mathbb{R})$ et $d_n(\mathbb{C})$ .

1.

Pour la question 1, utilisez la suite des noyaux itérés $\ker(N) \subset \ker(N^2) \subset \ker(N^3) = \mathbb{C}^3$ . Distinguez les cas selon l'indice de nilpotence (2 ou 3).

2.

Pour la question 2.(b), une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ est diagonalisable si et seulement si elle possède deux valeurs propres distinctes ou si elle est scalaire. Calculez le discriminant $\Delta(t)$ qui est un polynôme en $t$ . S'il a une racine, la matrice correspondante doit être scalaire.

3.

Pour la question 3, observez que $d_n(\mathbb{R})$ croît en $n^2$ alors que $d_n(\mathbb{C})$ croît linéairement.

Idées clés

•

Réduction des nilpotents par l'étude des noyaux itérés.

•

Caractérisation de la diagonalisabilité dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ via le discriminant $\Delta = (\text{Tr } A)^2 - 4 \det A$ .

•

Une matrice ayant une valeur propre double est diagonalisable si et seulement si elle est déjà diagonale (homothétie).

1. Nilpotents de $\mathcal{M$ _3(\mathbb{C}) $M_{3} (C)$ .}

Soit $N \neq 0$ nilpotente. Son indice de nilpotence $k$ vérifie $2 \le k \le 3$ .

Cas $k=2$ : $N^2 = 0$ . Alors $\text{Im}(N) \subset \ker(N)$ . Comme $N \neq 0$ , $\dim \ker(N)$ est soit 1 soit 2. Le théorème du rang impose $\dim \ker(N) + \text{rg}(N) = 3$ . La seule possibilité avec $\text{rg}(N) \le \dim \ker(N)$ est $\text{rg}(N) = 1$ et $\dim \ker(N) = 2$ . Soit $e_2$ tel que $Ne_2 \neq 0$ . Posons $e_1 = Ne_2$ . Alors $e_1 \in \ker(N)$ . Complétons $(e_1)$ en une base $(e_1, e_3)$ de $\ker(N)$ . Dans la base $(e_1, e_2, e_3)$ , la matrice de $N$ est exactement $J_2$ .

Cas $k=3$ : $N^2 \neq 0$ et $N^3 = 0$ . Soit $e_3$ tel que $N^2e_3 \neq 0$ . Posons $e_2 = Ne_3$ et $e_1 = Ne_2 = N^2e_3$ . La famille $(e_1, e_2, e_3)$ est libre (classique pour les nilpotents). Dans cette base, la matrice de $N$ est $J_3$ .

\boxed{N \sim J_2 \text{ ou } N \sim J_3}

2. (a) Rang 1 et diagonalisabilité.

Soit $M \in E$ de rang 1. Ses valeurs propres sont $\text{Tr}(M)$ et 0. Si $\text{Tr}(M) = 0$ , $M$ est nilpotente de rang 1. Or $E$ ne contient que des diagonalisables, donc la seule nilpotente est 0. Contradiction. Ainsi $\text{Tr}(M) = \lambda \neq 0$ . $M$ a deux valeurs propres distinctes ( $0$ et $\lambda$ ), elle est donc semblable à $\text{diag}(\lambda, 0)$ .

2. (b) Étude du discriminant.

Soit $M_t = A + tJ = \begin{pmatrix} a+t & b c & d \end{pmatrix}$ . Le polynôme caractéristique est $\chi_t(X) = X^2 - (a+d+t)X + (a+t)d - bc$ . Le discriminant est :

\Delta(t) = (a+d+t)^2 - 4(ad + td - bc) = t^2 + 2(a-d)t + (a-d)^2 + 4bc

$\Delta(t)$ est un polynôme en $t$ de degré 2. Sur $\mathbb{C}$ , il admet au moins une racine $t_0$ . Pour ce $t_0$ , la matrice $M_{t_0}$ possède une valeur propre double. Comme $M_{t_0} \in E$ , elle est diagonalisable. Une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ diagonalisable à valeur propre double est une homothétie. Donc $M_{t_0} = \lambda I_2$ . Ceci impose que ses coefficients non diagonaux sont nuls : $b=0$ et $c=0$ . Ainsi, toute matrice $A \in E$ doit être diagonale.

2. (c) Conclusion sur $d_2(\mathbb{C$ ) $d_{2} (C)$ .}

L'argument précédent montre que si $E$ contient $J$ , alors $E \subset \text{Vect}(I, J)$ , donc $\dim E \le 2$ . L'espace des matrices diagonales est de dimension 2 et convient.

\boxed{d_2(\mathbb{C}) = 2}

3. Comparaison.

On a $d_n(\mathbb{R}) = \frac{n(n+1)}{2}$ et $d_n(\mathbb{C}) = n$ . La différence est majeure : sur $\mathbb{R}$ , on peut construire de très gros espaces (les symétriques). Sur $\mathbb{C}$ , la contrainte de diagonalisabilité est beaucoup plus forte car "presque toutes" les matrices à valeurs propres multiples sont non diagonalisables (à cause de la structure des blocs de Jordan non triviaux que l'on évite ici par le discriminant).

Ne pas dire que " $\Delta(t)$ a une racine donc la matrice n'est pas diagonalisable". C'est faux (cas des homothéties). Il faut bien justifier que si $\Delta=0$ , la diagonalisabilité impose d'être un multiple de l'identité.