Diagonalisabilité sous contrainte de module

On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ dont le déterminant vérifie $|\det(A)| = 1$ .

On suppose par ailleurs qu'aucune des valeurs propres complexes de $A$ n'est de module $1$ .

Démontrer que la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ .

1.

Commencer par étudier la nature des valeurs propres de $A$ (réelles ou complexes non réelles).

2.

Utiliser la propriété selon laquelle les racines complexes d'un polynôme à coefficients réels sont conjuguées.

3.

Exploiter le lien entre le produit des valeurs propres et le déterminant.

4.

Vérifier si les valeurs propres peuvent être multiples.

Idées clés

•

Lien entre déterminant et spectre : $\det(A) = \prod \lambda_i$ .

•

Propriété des polynômes réels : si $\lambda \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ est racine, alors $\bar{\lambda}$ l'est aussi.

•

Critère de diagonalisabilité : une matrice d'ordre 2 avec deux valeurs propres réelles distinctes est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Résolution.

Soit $\chi_A$ le polynôme caractéristique de $A$ . Comme $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , $\chi_A$ est un polynôme de degré 2 à coefficients réels.

Notons $\lambda_1$ et $\lambda_2$ les deux racines de $\chi_A$ dans $\mathbb{C}$ , qui sont les valeurs propres de $A$ .

Étape 1 : Analyse de la nature des valeurs propres.

Supposons par l'absurde que $A$ possède une valeur propre $\lambda_1$ qui ne soit pas réelle ( $\lambda_1 \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ ).

Puisque $\chi_A$ est à coefficients réels, la quantité conjuguée $\bar{\lambda_1}$ est également une racine de $\chi_A$ .

On a donc $\lambda_2 = \bar{\lambda_1}$ . Le produit des valeurs propres est alors :

\lambda_1 \lambda_2 = \lambda_1 \bar{\lambda_1} = |\lambda_1|^2

Or, le produit des valeurs propres est égal au déterminant de la matrice. D'où :

|\lambda_1|^2 = \det(A)

En passant au module et en utilisant l'hypothèse $|\det(A)| = 1$ , il vient :

|\lambda_1|^2 = |\det(A)| = 1 \implies |\lambda_1| = 1

Ceci contredit l'énoncé qui stipule qu'aucune valeur propre complexe n'est de module $1$ .

Par conséquent, les deux valeurs propres de $A$ sont nécessairement réelles :

\boxed{\lambda_1 \in \mathbb{R}   \text{et}   \lambda_2 \in \mathbb{R}}

Étape 2 : Distinction des valeurs propres.

Étudions maintenant si ces deux valeurs propres réelles peuvent être égales. Supposons que $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ .

Le produit des valeurs propres nous donne :

\lambda^2 = \det(A)

En utilisant à nouveau l'hypothèse sur le déterminant, on a $\lambda^2 = 1$ ou $\lambda^2 = -1$ .

Si $\lambda^2 = 1$ , alors $\lambda = 1$ ou $\lambda = -1$ . Dans les deux cas, $|\lambda| = 1$ . Cela contredit l'hypothèse selon laquelle aucune valeur propre n'est de module $1$ .

Si $\lambda^2 = -1$ , alors $\lambda = i$ ou $\lambda = -i$ . Ceci contredit le fait, établi précédemment, que les valeurs propres sont réelles.

On en déduit que les racines du polynôme caractéristique sont distinctes :

\boxed{\lambda_1 \neq \lambda_2}

Étape 3 : Conclusion sur la diagonalisabilité.

La matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ possède deux valeurs propres réelles et distinctes.

Le polynôme caractéristique $\chi_A$ est donc scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ .

D'après le cours sur la réduction, cela garantit la diagonalisabilité de la matrice.

\boxed{A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_2(\mathbb{R})}

L'erreur fréquente est d'oublier de traiter le cas où les valeurs propres pourraient être complexes non réelles. Il faut bien justifier que la condition sur le module force les racines à être réelles avant de discuter de leur multiplicité.