Trace et dimension du point fixe d'une matrice de torsion

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On suppose qu'il existe un entier $q \in \mathbb{N}^*$ tel que $A^q = I_n$ .

Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ .
En exprimant la trace de $A^k$ à l'aide de ses valeurs propres, établir la relation suivante : $\dim \ker(A-I_n) = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \operatorname{Tr}(A^k)$
Montrer que le résultat reste valable si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ en considérant la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre $1$ .
Vérifier que l'on peut également écrire : $\dim \ker(A-I_n) = \frac{1}{q} \sum_{i=0}^{q-1} \operatorname{Tr}(A^i)$

1.

Pour la question 1, chercher un polynôme annulateur simple de $A$ et étudier ses racines.

2.

Pour la question 2, utiliser le fait que pour toute matrice diagonalisable, la trace est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité. On rappelle que pour $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $\lambda^q = 1$ , la somme $\sum_{k=1}^q \lambda^k$ vaut $q$ si $\lambda=1$ et $0$ sinon.

3.

Pour la question 3, utiliser l'invariance du rang (et donc de la dimension du noyau) par extension du corps de base de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{C}$ .

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur scindé à racines simples pour la diagonalisabilité.

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Lien entre trace et spectre d'une matrice diagonalisable.

•

Propriété des sommes des racines $q$ -ièmes de l'unité.

Résolution.

Le polynôme $P(X) = X^q - 1$ est un polynôme annulateur de $A$ par hypothèse. Ce polynôme est scindé sur $\mathbb{C}$ et ses racines sont les racines $q$ -ièmes de l'unité $\mu_q = \{e^{\frac{2ik\pi}{q}}, k \in \llbracket 0, q-1 \rrbracket\}$ . Puisque ces racines sont deux à deux distinctes, $P$ est à racines simples. $\boxed{P \text{ est un polynôme annulateur scindé à racines simples, donc } A \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{C}.}$
Soit $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ la famille des valeurs propres de $A$ comptées avec multiplicité. Puisque $A$ est diagonalisable, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , la matrice $A^k$ est diagonalisable de valeurs propres $(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$ . On exprime la somme des traces demandée : $\sum_{k=1}^{q} \operatorname{Tr}(A^k) = \sum_{k=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} \lambda_j^k = \sum_{j=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{q} \lambda_j^k \right)$ Pour chaque valeur propre $\lambda_j$ , on sait que $\lambda_j^q = 1$ car $\lambda_j$ est racine du polynôme annulateur $X^q-1$ . Premier cas : Si $\lambda_j = 1$ , alors $\sum_{k=1}^{q} \lambda_j^k = \sum_{k=1}^{q} 1 = q$ . Second cas : Si $\lambda_j \neq 1$ , il s'agit d'une somme géométrique : $\sum_{k=1}^{q} \lambda_j^k = \lambda_j \frac{1 - \lambda_j^q}{1 - \lambda_j} = \lambda_j \frac{1 - 1}{1 - \lambda_j} = 0$ Ainsi, la somme $\sum_{k=1}^{q} \lambda_j^k$ vaut $q$ si $\lambda_j = 1$ et $0$ sinon. En notant $m(1)$ la multiplicité de la valeur propre 1 dans le spectre de $A$ , on obtient : $\sum_{k=1}^{q} \operatorname{Tr}(A^k) = m(1) \cdot q + (n - m(1)) \cdot 0 = q \cdot m(1)$ Puisque $A$ est diagonalisable, la multiplicité de la valeur propre 1 est égale à la dimension de l'espace propre associé $\ker(A-I_n)$ . $\boxed{\dim \ker(A-I_n) = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \operatorname{Tr}(A^k)}$
Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , on peut la considérer comme une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Le rang d'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est identique qu'il soit calculé sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$ . Par le théorème du rang, $\dim \ker(M)$ est donc également identique sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$ . Comme la trace est la somme des éléments diagonaux, elle ne dépend pas non plus du corps de base. La formule reste donc valide.
On remarque que $A^q = I_n = A^0$ . Ainsi : $\sum_{k=1}^{q} \operatorname{Tr}(A^k) = \operatorname{Tr}(A^1) + \dots + \operatorname{Tr}(A^{q-1}) + \operatorname{Tr}(A^q)$ $\sum_{k=1}^{q} \operatorname{Tr}(A^k) = \operatorname{Tr}(A^1) + \dots + \operatorname{Tr}(A^{q-1}) + \operatorname{Tr}(I_n) = \sum_{i=0}^{q-1} \operatorname{Tr}(A^i)$ La formule peut donc indifféremment commencer à l'indice 0 ou 1.

Attention à ne pas oublier de justifier la diagonalisabilité de $A$ . Sans elle, on ne peut pas affirmer que la multiplicité de la valeur propre 1 est égale à la dimension du noyau de $(A-I_n)$ .