Réduction d'un endomorphisme de reste polynomial

Soit $E = \mathbb{R}_{3}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus $3$ .

Pour tout polynôme $P \in E$ , on définit $u(P)$ comme le reste de la division euclidienne de $(X^4 - 1)P$ par le polynôme $B = X^4 - X$ .

Justifier que l'application $u$ définit bien un endomorphisme de $E$ .
Déterminer le noyau $\ker(u)$ , l'image $\text{Im}(u)$ ainsi que le spectre de $u$ sur $\mathbb{R}$ .
L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable dans $\mathcal{L}(E)$ ?

1.

Pour la question 1, utiliser la linéarité du reste et vérifier que le degré du reste est compatible avec l'espace d'arrivée. On pourra remarquer que $X^4 - 1 = (X^4 - X) + (X - 1)$ .

2.

Pour le noyau, traduire la condition $u(P) = 0$ par une relation de divisibilité faisant intervenir $B$ .

3.

Pour le spectre, on pourra écrire la matrice de $u$ dans la base canonique $(1, X, X^2, X^3)$ ou chercher les racines du polynôme caractéristique.

4.

Pour la diagonalisabilité, vérifier si le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$ .

Idées clés

•

Relation entre reste et divisibilité : $u(P) = 0 \iff B \mid (X^4-1)P$

•

Simplification du calcul : $X^4-1 \equiv X-1 \pmod{X^4-X}$

•

Critère de diagonalisabilité : un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel est diagonalisable s'il possède un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ .

1. Nature de l'application $u$

Soit $P \in E$ . Par définition de la division euclidienne par $B$ (de degré 4), le reste $u(P)$ est un polynôme de degré strictement inférieur à 4.

\deg(u(P)) < 4 \implies u(P) \in \mathbb{R}_3[X] = E

L'application est donc bien à valeurs dans $E$ . La linéarité découle des propriétés du reste de la division euclidienne :

Pour tous $P, Q \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ , $(X^4-1)(\lambda P + Q) = \lambda (X^4-1)P + (X^4-1)Q$ . En passant au reste modulo $B$ , on obtient par unicité $u(\lambda P + Q) = \lambda u(P) + u(Q)$ .

\boxed{u \in \mathcal{L}(E)}

2. Éléments caractéristiques de $u$

Remarquons d'abord que $X^4 - 1 = 1 \cdot (X^4 - X) + (X - 1)$ . On en déduit :

(X^4 - 1)P = (X^4 - X)P + (X - 1)P

Le reste de la division de $(X^4 - 1)P$ par $X^4 - X$ est donc le même que celui de $(X - 1)P$ par $X^4 - X$ .

Noyau : $P \in \ker(u) \iff X^4 - X$ divise $(X - 1)P$ . Comme $X^4 - X = X(X-1)(X^2+X+1)$ , la condition devient :

X(X-1)(X^2+X+1) \mid (X-1)P \iff X(X^2+X+1) \mid P

Puisque $\deg(P) \le 3$ , $P$ est un multiple de $X(X^2+X+1) = X^3 + X^2 + X$ .

\boxed{\ker(u) = \text{Vect}(X^3 + X^2 + X)}

Image : Par le théorème du rang, $\dim(\text{Im}(u)) = 4 - 1 = 3$ . D'après la simplification $(X^4-1)P \equiv (X-1)P \pmod{X^4-X}$ , on voit que $X-1$ divise toujours $u(P)$ . L'image est donc incluse dans le sous-espace des polynômes de $E$ s'annulant en 1. Ce sous-espace étant de dimension 3, on a :

\boxed{\text{Im}(u) = \{ Q \in \mathbb{R}_3[X] \mid Q(1) = 0 \}}

Spectre : Calculons les images de la base canonique $\mathcal{B} = (1, X, X^2, X^3)$ :

$u(1) = \text{reste}((X-1), X^4-X) = X-1$
$u(X) = \text{reste}(X^2-X, X^4-X) = X^2-X$
$u(X^2) = \text{reste}(X^3-X^2, X^4-X) = X^3-X^2$
$u(X^3) = \text{reste}(X^4-X^3, X^4-X) = \text{reste}((X^4-X) - X^3 + X, X^4-X) = -X^3+X$

La matrice $M$ de $u$ dans $\mathcal{B}$ est :

M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

Le polynôme caractéristique est $\chi_u(x) = \det(xI - M)$ . En développant par rapport à la première ligne :

\chi_u(x) = (x+1) \begin{vmatrix} x+1 & 0 & -1 -1 & x+1 & 0 0 & -1 & x+1 \end{vmatrix} = (x+1) [ (x+1)^3 - 1 ]

Les racines de $\chi_u$ sont telles que $x+1 = 0$ ou $(x+1)^3 = 1$ . Les solutions dans $\mathbb{C}$ sont $x = -1$ et $x+1 \in \{1, j, j^2\}$ , soit $x \in \{0, j-1, j^2-1\}$ . Le spectre sur $\mathbb{R}$ est donc :

\boxed{\text{Sp}_{\mathbb{R}}(u) = \{-1, 0\}}

3. Diagonalisabilité

L'endomorphisme $u$ est défini sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel. Son polynôme caractéristique est :

\chi_u(x) = x(x+1)(x^2 + 3x + 3)

Le discriminant du facteur de degré 2 est $\Delta = 3^2 - 4(3) = -3 < 0$ .

Le polynôme caractéristique n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ car il possède deux racines complexes non réelles ( $j-1$ et $j^2-1$ ).

Par conséquent :

\boxed{u \text{ n'est pas diagonalisable sur } \mathbb{R}}

Attention à ne pas oublier de vérifier si les racines du polynôme caractéristique sont réelles. Sur $\mathbb{C}$ , cet endomorphisme possèderait 4 valeurs propres distinctes et serait donc diagonalisable. Mais ici, l'espace de référence est $\mathbb{R}_3[X]$ .