Réduction réelle par blocs de similitude

Résolution.

1. Le polynôme caractéristique $\chi_A = \det(XI_n - A)$ est à coefficients réels car $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $A$, alors $\chi_A(\lambda) = 0$. Par conjugaison, on a :
   $$\overline{\chi_A(\lambda)} = \chi_A(\bar{\lambda}) = 0$$
   Ainsi, $\bar{\lambda}$ est également valeur propre de $A$ avec la même multiplicité que $\lambda$. Comme $A$ n'a aucune valeur propre réelle, les racines de $\chi_A$ sont deux à deux distinctes et conjuguées. On peut donc regrouper les racines complexes par paires $(\lambda_k, \bar{\lambda}_k)$. La somme des multiplicités des valeurs propres étant égale au degré de $\chi_A$, on en déduit :
   $$\boxed{n = 2 \times \sum_{k=1}^p m(\lambda_k) = 2p}$$
   L'entier $n$ est donc bien pair.

2. Puisque $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$. Soit $\lambda \in \text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$. Pour tout vecteur $Z \in \mathbb{C}^n$, on a :
   $$AZ = \lambda Z \iff \overline{AZ} = \overline{\lambda Z} \iff A\bar{Z} = \bar{\lambda} \bar{Z}$$
   Ceci montre que l'application $Z \mapsto \bar{Z}$ est un isomorphisme de $E_\lambda(A)$ sur $E_{\bar{\lambda}}(A)$. Par conséquent :
   $$\dim E_\lambda(A) = \dim E_{\bar{\lambda}}(A)$$
   En choisissant une base $(Z_{k,1}, \dots, Z_{k, m_k})$ pour chaque sous-espace propre $E_{\lambda_k}$ (où on ne choisit qu'une valeur propre par paire de conjuguées), la famille des conjugués correspondante formera une base de $E_{\bar{\lambda}_k}$. En concaténant ces bases, on obtient une base de $\mathbb{C}^n$ de la forme :
   $$\boxed{\mathcal{B}_{\mathbb{C}} = (Z_{1}, \overline{Z_{1}}, \ldots, Z_{p}, \overline{Z_{p}})}$$

3. Considérons une combinaison linéaire nulle de la famille $(X_1, Y_1, \dots, X_p, Y_p)$ à coefficients réels $(\alpha_k, \beta_k)$ :
   $$\sum_{k=1}^p (\alpha_k X_k + \beta_k Y_k) = 0_{\mathbb{R}^n}$$
   On utilise les relations $X_k = \frac{1}{2}(Z_k + \overline{Z_k})$ et $Y_k = \frac{1}{2i}(Z_k - \overline{Z_k})$. En substituant dans la somme, on obtient :
   $$\sum_{k=1}^p \left( \frac{\alpha_k}{2}(Z_k + \overline{Z_k}) + \frac{\beta_k}{2i}(Z_k - \overline{Z_k}) \right) = 0$$
   En regroupant selon les vecteurs de la base $\mathcal{B}_{\mathbb{C}}$, on trouve :
   $$\sum_{k=1}^p \left[ \frac{1}{2}(\alpha_k - i\beta_k) Z_k + \frac{1}{2}(\alpha_k + i\beta_k) \overline{Z_k} \right] = 0$$
   La famille $(Z_1, \overline{Z_1}, \dots)$ étant libre dans $\mathbb{C}^n$, tous les coefficients sont nuls :
   $$\forall k \in \llbracket 1, p \rrbracket,   \alpha_k - i\beta_k = 0   \text{et}   \alpha_k + i\beta_k = 0$$
   On en déduit immédiatement $\alpha_k = \beta_k = 0$ pour tout $k$. La famille est donc libre. Comme elle comporte $2p = n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$, on conclut :
   $$\boxed{(X_1, Y_1, \dots, X_p, Y_p) \text{ est une base de } \mathbb{R}^n}$$

4. Soit $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$. Soit $\lambda_k = a_k + i b_k$ la valeur propre associée à $Z_k$. Puisque $\lambda_k$ n'est pas réelle, on a $b_k \neq 0$. L'équation propre $A Z_k = \lambda_k Z_k$ s'écrit :
   $$A(X_k + i Y_k) = (a_k + i b_k)(X_k + i Y_k) = (a_k X_k - b_k Y_k) + i(b_k X_k + a_k Y_k)$$
   Par identification des parties réelles et imaginaires (valable car $A, X_k, Y_k, a_k, b_k$ sont réels), on obtient :
   $$\begin{cases} A X_k = a_k X_k + b_k Y_k$$
   A Y_k = -b_k X_k + a_k Y_k \end{cases}
   Note : l'ordre des colonnes ou le signe de $b$ dépend du choix de la base. Ici, dans la base $(X_k, Y_k)$, la matrice du bloc est $\begin{pmatrix} a_k & -b_k$
   b_k & a_k \end{pmatrix}. En recollant les blocs, la matrice de $A$ dans la base $\mathcal{B}_{\mathbb{R}} = (X_1, Y_1, \dots, X_p, Y_p)$ est :
   $$\boxed{\text{Mat}_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}}}(A) = \text{diag}(B_1, \dots, B_p)   \text{avec}   B_k = \begin{pmatrix} a_k & b_k$$
   -b_k & a_k \end{pmatrix}}
   Ceci prouve que $A$ est semblable sur $\mathbb{R}$ à une matrice diagonale par blocs de similitude.