Base de l'espace des matrices et diagonalisabilité

On considère l'espace vectoriel des matrices carrées $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ .

L'objectif est de déterminer s'il est possible de trouver une base de cet espace constituée exclusivement de matrices diagonalisables.

1.

Rappeler une condition suffisante simple pour qu'une matrice soit diagonalisable sur $\mathbb{R}$ en lien avec son spectre.

2.

Utiliser une matrice diagonale $D$ ayant des coefficients diagonaux distincts comme point de départ.

3.

Considérer une famille de matrices construites à partir de $D$ et des matrices de la base canonique $(E_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ .

4.

Pour prouver que la famille est une base, vérifier qu'elle est libre et qu'elle contient $n^2$ éléments.

Idées clés

•

Une matrice possédant $n$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{R}$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

•

La base canonique $(E_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ permet de décomposer n'importe quelle matrice, mais les matrices $E_{i,j}$ (pour $i \neq j$ ) ne sont pas diagonalisables.

•

On construit une base en "perturbant" une matrice diagonalisable fixe par les éléments de la base canonique.

Résolution.

Soit $D$ la matrice diagonale définie par :

D = \text{diag}(1, 2, \dots, n) = \sum_{k=1}^{n} k E_{k,k}

Cette matrice $D$ possède $n$ valeurs propres distinctes (les entiers de $1$ à $n$ ). Elle est donc diagonalisable.

Considérons la famille de matrices $\mathcal{B} = (A_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ définie par :

\forall (i,j) \in \{1, \dots, n\}^2,   A_{i,j} = D + E_{i,j}

1. Étudions la diagonalisabilité des éléments de $\mathcal{B$ $B$ .}

Si $i = j$ , alors $A_{i,i} = D + E_{i,i}$ est une matrice diagonale. Elle est donc diagonalisable.

Si $i \neq j$ , la matrice $A_{i,j}$ est soit triangulaire supérieure (si $i < j$ ), soit triangulaire inférieure (si $i > j$ ).

En effet, les seuls coefficients non nuls de $A_{i,j}$ sont sur la diagonale ou en position $(i,j)$ .

Ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux, c'est-à-dire $\{1, 2, \dots, n\}$ .

\chi_{A_{i,j}}(X) = \prod_{k=1}^n (X - k)

Comme $A_{i,j}$ possède $n$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{R}$ , elle est diagonalisable.

2. Montrons que la famille $\mathcal{B$ $B$ est libre.}

Supposons qu'il existe des réels $(\lambda_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ tels que :

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_{i,j} A_{i,j} = 0

En remplaçant $A_{i,j}$ par son expression, nous obtenons :

\sum_{i,j} \lambda_{i,j} (D + E_{i,j}) = 0

Posons $S = \sum_{i,j} \lambda_{i,j}$ . L'équation devient :

S \cdot D + \sum_{i,j} \lambda_{i,j} E_{i,j} = 0

En utilisant la définition de $D = \sum_{k=1}^n k E_{k,k}$ , on peut regrouper les termes selon la base canonique $(E_{i,j})$ :

\sum_{k=1}^n (S \cdot k + \lambda_{k,k}) E_{k,k} + \sum_{i \neq j} \lambda_{i,j} E_{i,j} = 0

Par liberté de la base canonique, nous en déduisons :

$\forall i \neq j, \lambda_{i,j} = 0$
$\forall k \in \{1, \dots, n\}, \lambda_{k,k} = -k S$

Sommons les relations (ii) pour $k$ allant de $1$ à $n$ :

\sum_{k=1}^n \lambda_{k,k} = -S \sum_{k=1}^n k = -S \frac{n(n+1)}{2}

Or, d'après (i), la somme totale $S$ se réduit à la somme des $\lambda_{k,k}$ :

S = \sum_{k=1}^n \lambda_{k,k} + \sum_{i \neq j} \lambda_{i,j} = \sum_{k=1}^n \lambda_{k,k} + 0 = S

On aboutit donc à l'équation :

S = -S \frac{n(n+1)}{2} \iff S \left( 1 + \frac{n(n+1)}{2} \right) = 0

Comme $1 + \frac{n(n+1)}{2} > 0$ pour tout $n \ge 1$ , on en conclut que $S = 0$ .

D'après les relations (i) et (ii), cela implique que tous les coefficients $\lambda_{i,j}$ sont nuls.

La famille $\mathcal{B}$ est donc libre.

Conclusion.

La famille $\mathcal{B}$ est une famille libre de $n^2$ éléments dans un espace de dimension $n^2$ . C'est donc une base.

\boxed{\text{Il existe bien une base de } \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \text{ constituée de matrices diagonalisables.}}

Attention à ne pas croire que l'ensemble des matrices diagonalisables forme un sous-espace vectoriel. La somme de deux matrices diagonalisables n'est pas nécessairement diagonalisable. Par exemple :

\begin{pmatrix} 1 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 0 & 1 \end{pmatrix}   (\text{non diagonalisable})