Endomorphismes semi-simples

Résolution.

1. Soit $u$ semi-simple sur $E$. Soit $F$ un sous-espace stable par $u$ et $G \subseteq F$ un sous-espace stable par $u_{|F}$ (donc stable par $u$). Il existe $H$ supplémentaire de $G$ dans $E$ stable par $u$. Posons $H' = H \cap F$. $H'$ est stable par $u$ (intersection de stables) et inclus dans $F$. Montrons que $F = G \oplus H'$. $G \cap (H \cap F) \subseteq G \cap H = \{0\}$. Si $x \in F$, on écrit $x = g + h$ avec $g \in G$ et $h \in H$. Alors $h = x - g \in F$, donc $h \in H \cap F$.
   $$\boxed{\text{La restriction d'un semi-simple est semi-simple.}}$$

2. Considérons $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ défini par $A = \begin{pmatrix} 0 & 1$
   0 & 0 \end{pmatrix}. Le sous-espace $F = \operatorname{Vect}(e_1)$ est stable. Un supplémentaire stable serait de dimension 1, donc engendré par un vecteur propre non colinéaire à $e_1$. Or $e_1$ est le seul vecteur propre (à homothétie près). Un autre exemple est $B = \begin{pmatrix} 1 & 1$
   0 & 1 \end{pmatrix}.
   $$\boxed{\text{Exemples : tout endomorphisme nilpotent non nul ou trigonalisable non diagonalisable.}}$$

3. Supposons $\mu_u = P$ irréductible. Soit $F$ un sous-espace stable par $u$. Considérons l'ensemble $\mathcal{S} = \{ G \text{ stable } \mid F \cap G = \{0\} \}$. Cet ensemble est non vide ({0}). Soit $G$ un élément maximal de $\mathcal{S}$ pour l'inclusion (existe par dimension finie). Supposons $F \oplus G \neq E$. Soit $x \notin F \oplus G$. Posons $V = \{ Q(u)x \mid Q \in K[X] \}$. $V$ est un sous-espace stable non nul. Comme $P$ est irréductible, toute restriction de $u$ à un sous-espace stable non nul a aussi $P$ pour polynôme minimal. On peut montrer qu'un tel $V$ est "minimal" au sens où il ne contient pas de sous-espace stable non trivial autre que lui-même (cela revient à dire que $K[u]$ agit comme un corps sur $V$). Dès lors, $V \cap (F \oplus G)$ est un sous-espace stable de $V$. S'il était égal à $V$, alors $x \in F \oplus G$, ce qui est faux. Donc $V \cap (F \oplus G) = \{0\}$. Ceci contredit la maximalité de $G$ car $G \oplus V$ serait dans $\mathcal{S}$.
   $$\boxed{\mu_u \text{ irréductible } \implies u \text{ semi-simple.}}$$

4. Sens réciproque : Si $\mu_u = P_1 \dots P_r$ avec $P_i$ irréductibles distincts. Par le lemme des noyaux : $E = \bigoplus_{i=1}^r \ker P_i(u)$. Soit $F$ un sous-espace stable. On sait que $F = \bigoplus (F \cap \ker P_i(u))$. Pour chaque $i$, la restriction de $u$ à $\ker P_i(u)$ a pour polynôme minimal $P_i$, qui est irréductible. D'après la question 3, cette restriction est semi-simple. Il existe donc un supplémentaire stable $G_i$ de $F \cap \ker P_i(u)$ dans $\ker P_i(u)$. Alors $G = \bigoplus G_i$ est un supplémentaire stable de $F$ dans $E$. Sens direct : Supposons $u$ semi-simple. Si $\mu_u$ avait un facteur carré $P^2$, alors par restriction à $\ker P^2(u)$, $u$ induirait un endomorphisme semi-simple $v$ dont le polynôme minimal est $P^2$. Soit $F = \ker P(v)$. $F$ est stable. Soit $G$ son supplémentaire stable. Alors $v$ induit $v_G$ sur $G$ tel que $\mu_{v_G}$ divise $P^2$. Si $P(v_G) = 0$, alors $G \subseteq \ker P(v) = F$, donc $G=\{0\}$, ce qui implique $F=E$, soit $P(v)=0$, contredisant que $\mu_v = P^2$.
   $$\boxed{u \text{ semi-simple } \iff \mu_u \text{ est sans facteur carré.}}$$

5. 1. Sur $\mathbb{C}$, les polynômes irréductibles sont de degré 1. $\mu_u$ est sans facteur carré ssi il est scindé à racines simples.
      $$\boxed{u \text{ semi-simple sur } \mathbb{C} \iff u \text{ est diagonalisable.}}$$
   2. Sur $\mathbb{R}$, les polynômes irréductibles sont de degré 1 ($X-a$) ou 2 ($X^2+bX+c$ avec discriminant négatif). Un bloc associé à un facteur de degré 2 est semblable à une matrice de rotation-homothétie.