Spectre de la matrice du minimum

Résolution.

1. La matrice $M_n$ est réelle et symétrique puisque $\min(i,j) = \min(j,i)$ pour tout $(i,j)$. D'après le théorème spectral, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.
   $$\boxed{M_n \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$$

2. Introduisons la matrice triangulaire inférieure $L = (l_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $l_{i,j} = 1$ si $i \ge j$ et $0$ sinon. Calculons le coefficient $(i,j)$ du produit $L L^T$ :
   $$(L L^T)_{i,j} = \sum_{k=1}^n l_{i,k} (L^T)_{k,j} = \sum_{k=1}^n l_{i,k} l_{j,k}$$
   Le terme $l_{i,k} l_{j,k}$ est non nul (vaut $1$) si et seulement si $k \le i$ et $k \le j$, soit $k \le \min(i,j)$. Ainsi, $(L L^T)_{i,j} = \sum_{k=1}^{\min(i,j)} 1 = \min(i,j) = m_{i,j}$. On a donc $M_n = L L^T$. Puisque $L$ est triangulaire avec des $1$ sur la diagonale, $\det(L)=1$, donc $L$ est inversible, ce qui implique que $M_n$ est inversible. L'inverse de $L$ est la matrice $L^{-1}$ correspondant à l'opération élémentaire $L_i \leftarrow L_i - L_{i-1}$. On a $(L^{-1})_{i,i} = 1$, $(L^{-1})_{i,i-1} = -1$ et $0$ ailleurs. Alors $M_n^{-1} = (L^T)^{-1} L^{-1} = (L^{-1})^T L^{-1}$. Par calcul direct :
   $$\boxed{M_n^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \dots & 0$$
   -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots
   0 & -1 & 2 & \ddots & 0
   \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1
   0 & \dots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}

3. Cherchons $\mu$ une valeur propre de $M_n^{-1}$ et $X = (x_1, \dots, x_n)^T$ un vecteur propre associé. L'équation $M_n^{-1} X = \mu X$ se traduit par le système :
   $$\begin{cases} 2x_1 - x_2 = \mu x_1$$
   -x_{k-1} + 2x_k - x_{k+1} = \mu x_k & \text{pour } 2 \le k \le n-1
   -x_{n-1} + x_n = \mu x_n \end{cases}
   Posons $x_0 = 0$. La première équation s'écrit alors $-x_0 + (2-\mu)x_1 - x_2 = 0$. La dernière équation peut s'écrire $-x_{n-1} + (2-\mu)x_n - x_{n+1} = 0$ en imposant $x_{n+1} = x_n$. On étudie la récurrence $x_{k+1} + (\mu - 2)x_k + x_{k-1} = 0$. L'équation caractéristique est $r^2 + (\mu-2)r + 1 = 0$. Comme $M_n$ est définie positive (car $M_n = LL^T$), ses valeurs propres sont strictement positives. On peut montrer que $0 < \mu < 4$. Posons $\mu - 2 = -2\cos(\theta)$ avec $\theta \in ]0, \pi[$, soit $\mu = 2 - 2\cos(\theta) = 4\sin^2(\theta/2)$. Les racines sont $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. La solution générale est $x_k = A \cos(k\theta) + B \sin(k\theta)$. La condition $x_0 = 0$ impose $A = 0$, donc $x_k = B \sin(k\theta)$. La condition $x_{n+1} = x_n$ impose $\sin((n+1)\theta) = \sin(n\theta)$. Ceci équivaut à $(n+1)\theta = \pi - n\theta + 2k\pi$ (l'autre cas $\theta = 2k\pi$ est exclu). On obtient $\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{2n+1}$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$. Les valeurs propres de $M_n^{-1}$ sont $\mu_k = 4\sin^2\left( \frac{(2k+1)\pi}{2(2n+1)} \right)$. Par conséquent, le spectre de $M_n$ est composé des inverses :
   $$\boxed{\text{Sp}(M_n) = \left\{ \frac{1}{4\sin^2\left( \frac{(2k+1)\pi}{2(2n+1)} \right)},   k \in \{0, \dots, n-1\} \right\}}$$

4. Puisque $M_n$ est diagonalisable, elle est semblable à la matrice diagonale formée par ses valeurs propres. Soit $D$ cette matrice :
   $$\boxed{D = \text{diag}\left( \frac{1}{4\sin^2\left( \frac{\pi}{2(2n+1)} \right)}, \dots, \frac{1}{4\sin^2\left( \frac{(2n-1)\pi}{2(2n+1)} \right)} \right)}$$