Diagonalisation explicite et calcul de puissances

Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_3(\mathbb{Q})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 6 & 7 & 0 \end{pmatrix}

Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{Q}$ .
Déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$ .
En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

1.

Calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ et chercher des racines entières simples.

2.

Pour la diagonalisabilité, vérifier si le polynôme caractéristique est scindé à racines simples sur le corps considéré.

3.

Utiliser la structure de la matrice (proche d'une matrice compagnon) pour trouver rapidement les vecteurs propres.

4.

Utiliser la relation $A^n = PD^nP^{-1}$ . Pour simplifier le calcul, on peut remarquer que si $L_n$ est la première ligne de $A^n$ , alors la deuxième est $L_{n+1}$ .

Idées clés

•

Utilisation du polynôme caractéristique pour déterminer le spectre.

•

Critère de diagonalisation : polynôme scindé à racines simples.

•

Lien entre puissances d'une matrice et diagonalisation ( $A^n = PD^nP^{-1}$ ).

1. Étude de la diagonalisabilité.

Calculons le polynôme caractéristique de $A$ , noté $\chi_A(X)$ :

\chi_A(X) = \det(XI_3 - A) = \begin{vmatrix} X & -1 & 0 0 & X & -1 -6 & -7 & X \end{vmatrix}

En développant par rapport à la première ligne :

\chi_A(X) = X(X^2 - 7) - (-1)(-6) = X^3 - 7X - 6

Cherchons des racines évidentes parmi les diviseurs de $6$ . On teste $-1$ : $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$ . On peut alors factoriser par $(X+1)$ :

X^3 - 7X - 6 = (X+1)(X^2 - X - 6) = (X+1)(X+2)(X-3)

Les valeurs propres de $A$ sont donc :

\boxed{\text{Sp}(A) = \{-2, -1, 3\}}

Le polynôme $\chi_A$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{Q}$ . D'après le cours, la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{Q}$ .

2. Réduction de la matrice.

Cherchons les sous-espaces propres associés. Pour chaque valeur propre $\lambda$ , un vecteur $V = (x, y, z)^T$ est vecteur propre si $AV = \lambda V$ , soit :

\left\{ \begin{array}{rcl} y &=& \lambda x z &=& \lambda y 6x + 7y &=& \lambda z \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} y &=& \lambda x z &=& \lambda^2 x ( \lambda^3 - 7\lambda - 6 ) x &=& 0 \end{array} \right.

Ainsi, les vecteurs propres sont de la forme $V_\lambda = (1, \lambda, \lambda^2)$ . On en déduit les vecteurs propres pour chaque valeur propre :

Pour $\lambda = -1$ : $V_1 = (1, -1, 1)^T$ .
Pour $\lambda = -2$ : $V_2 = (1, -2, 4)^T$ .
Pour $\lambda = 3$ : $V_3 = (1, 3, 9)^T$ .

On pose alors :

\boxed{D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}   \text{et}   P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 -1 & -2 & 3 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}}

Calculons $P^{-1}$ . Par la méthode de la comatrice ou du pivot de Gauss, on trouve $\det(P) = -20$ et :

\boxed{P^{-1} = \frac{1}{20} \begin{pmatrix} 30 & 5 & -5 -12 & -8 & 4 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}}

3. Calcul des puissances.

On a $A^n = PD^nP^{-1}$ . Notons $D^n = \text{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n)$ . Le coefficient général de $A^n$ est donné par :

(A^n)_{i,j} = \sum_{k=1}^3 P_{i,k} \lambda_k^n (P^{-1})_{k,j}

Comme $P_{i,k} = \lambda_k^{i-1}$ , on a $(A^n)_{i,j} = \sum_{k=1}^3 \lambda_k^{n+i-1} (P^{-1})_{k,j}$ . Posons $L_n = (a_n, b_n, c_n)$ la première ligne de $A^n$ . On obtient :

\left\{ \begin{array}{l} a_n = \frac{1}{20} \left( 30(-1)^n - 12(-2)^n + 2 \cdot 3^n \right) b_n = \frac{1}{20} \left( 5(-1)^n - 8(-2)^n + 3 \cdot 3^n \right) c_n = \frac{1}{20} \left( -5(-1)^n + 4(-2)^n + 3^n \right) \end{array} \right.

Par structure de la matrice (qui est la transposée d'une matrice compagnon), la ligne $i$ de $A^n$ est égale à la première ligne de $A^{n+i-1}$ . Ainsi :

\boxed{A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n a_{n+1} & b_{n+1} & c_{n+1} a_{n+2} & b_{n+2} & c_{n+2} \end{pmatrix}}

Attention à ne pas oublier de vérifier que les racines du polynôme caractéristique appartiennent bien au corps $\mathbb{Q}$ pour affirmer la diagonalisabilité sur $\mathbb{Q}$ . Ici, ce sont des entiers, donc c'est immédiat.