Diagonalisation effective et calcul de puissances

On considère les deux matrices réelles suivantes :

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 -2 & 5 & 2 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})   \text{et}   B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 1 & 0 & -8 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})

Étudier la diagonalisabilité de $A$ . Si elle est diagonalisable, déterminer une matrice de passage $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$ .
En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
La matrice $B$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ?

1.

Pour le polynôme caractéristique de $A$ , effectuer des opérations sur les lignes ou colonnes pour faire apparaître des facteurs communs (ex: $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$ ).

2.

Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et que la multiplicité de chaque valeur propre égale la dimension du sous-espace propre associé.

3.

Pour $A^n$ , utiliser la relation $A^n = PD^n P^{-1}$ .

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(XI - M)$ .

•

Détermination des bases des sous-espaces propres par résolution de systèmes linéaires.

•

Utilisation de la structure $A = PDP^{-1}$ pour le calcul de puissance.

Résolution.

Diagonalisation de $A$ : Calculons le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ : $\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & -3 & -2 2 & X-5 & -2 -2 & 3 & X \end{vmatrix}$ En effectuant $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$ , on obtient : $\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & -3 & -2 0 & X-2 & X-2 -2 & 3 & X \end{vmatrix} = (X-2) \begin{vmatrix} X & -3 & -2 0 & 1 & 1 -2 & 3 & X \end{vmatrix}$ En effectuant $C_3 \leftarrow C_3 - C_2$ dans le déterminant restant : $\chi_A(X) = (X-2) \begin{vmatrix} X & -3 & 1 0 & 1 & 0 -2 & 3 & X-3 \end{vmatrix} = (X-2) [ X(X-3) - (-2)(1) ] = (X-2)(X^2 - 3X + 2)$ Finalement, on trouve : $\boxed{\chi_A(X) = (X-1)(X-2)^2}$ Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$ (simple) et $\lambda_2 = 2$ (double).
Déterminons les sous-espaces propres : Pour $E_1(A)$ : $(I-A)X = 0 \iff \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 2 & -4 & -2 -2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix}$ . L'opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_1$ donne le système : $\begin{cases} x - 3y - 2z = 0 2y + 2z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -z x = z \end{cases}$ . D'où $E_1(A) = \text{Vect}((1, -1, 1))$ .
Pour $E_2(A)$ : $(2I-A)X = 0 \iff \begin{pmatrix} 2 & -3 & -2 2 & -3 & -2 -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix}$ . Les trois lignes sont liées, l'équation est $2x - 3y - 2z = 0$ . C'est un plan vectoriel de dimension 2. Une base est $((3, 2, 0), (1, 0, 1))$ .
Puisque $\dim E_1 + \dim E_2 = 1 + 2 = 3$ , la matrice $A$ est diagonalisable. On pose :
$\boxed{D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, P = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 -1 & 2 & 0 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$
Calcul de $A^n$ : On a $A^n = PD^n P^{-1}$ . Après calcul de l'inverse par la méthode du pivot : $P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -2 1 & 0 & -1 -2 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ Le produit $PD^n P^{-1}$ donne, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\boxed{A^n = \begin{pmatrix} 2-3\cdot 2^n & -3+3\cdot 2^n & -2+2^n -2+2\cdot 2^n & 3-2\cdot 2^n & 2-2\cdot 2^n 2-2\cdot 2^n & -3+3\cdot 2^n & -2+2\cdot 2^n \end{pmatrix}}$
Étude de $B$ : Le polynôme caractéristique de $B$ est $\chi_B(X) = X^2(X-5) + 8X - 4 = X^3 - 5X^2 + 8X - 4$ . On remarque que 1 est racine : $1-5+8-4=0$ . Par division euclidienne : $\chi_B(X) = (X-1)(X^2-4X+4) = (X-1)(X-2)^2$ . Cherchons la dimension de $E_2(B)$ : $B-2I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 4 1 & -2 & -8 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ . On voit que les deux premières colonnes ne sont pas colinéaires. De plus, $\det(B-2I) = 0$ car 2 est valeur propre. Le rang est donc exactement 2. Par le théorème du rang, $\dim E_2(B) = 3 - 2 = 1$ . Comme $\dim E_2(B) < 2$ (la multiplicité de la racine), la matrice $B$ n'est pas diagonalisable.

Attention à ne pas conclure trop vite sur la diagonalisabilité d'une matrice dès que l'on a les valeurs propres. Il faut impérativement vérifier que la dimension de chaque sous-espace propre coïncide avec la multiplicité de la valeur propre correspondante.