Diagonalisation d'opérateurs différentiels polynomiaux

Soit $n \in \mathbb{N}$ . On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}_n[X]$ . On définit les deux applications suivantes sur $E$ :

u : P \longmapsto (1-X^2)P' + nXP   \text{et}   v : P \longmapsto nP - (X+1)P'

Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$ .
Déterminer les valeurs propres de $u$ et montrer qu'il est diagonalisable. Préciser une base de vecteurs propres.
Justifier que $v$ est un endomorphisme de $E$ .
L'endomorphisme $v$ est-il diagonalisable ?

1.

Pour $u$ , calculer l'image de la base canonique pour vérifier le degré et obtenir une forme de la matrice. Pour les vecteurs propres, résoudre l'équation différentielle associée.

2.

Pour $v$ , examiner la structure de la matrice de l'application dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$ .

Idées clés

•

Analyse de la stabilité du degré pour les endomorphismes de polynômes.

•

Utilisation de la structure triangulaire de la matrice dans la base canonique.

•

Résolution d'équations différentielles à variables séparables pour trouver les fonctions propres.

Résolution.

Soit $k \in \{0, \dots, n\}$ . Calculons $u(X^k)$ : $u(X^k) = (1-X^2)k X^{k-1} + nX \cdot X^k = kX^{k-1} - kX^{k+1} + nX^{k+1}$ $u(X^k) = kX^{k-1} + (n-k)X^{k+1}$ Si $k < n$ , le degré de $u(X^k)$ est $k+1 \leq n$ . Si $k = n$ , $u(X^n) = nX^{n-1} + (n-n)X^{n+1} = nX^{n-1}$ , donc le degré est $n-1 \leq n$ . Par linéarité, pour tout $P \in E$ , $\deg(u(P)) \leq n$ . $\boxed{u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}$
Cherchons les couples $(\lambda, P)$ tels que $u(P) = \lambda P$ avec $P \neq 0$ . Cela revient à résoudre l'équation différentielle : $(1-x^2)P'(x) + nxP(x) = \lambda P(x) \iff (1-x^2)P'(x) = (\lambda - nx)P(x)$ Sur $]-1, 1[$ , on a $\frac{P'(x)}{P(x)} = \frac{\lambda - nx}{1-x^2}$ . En décomposant en éléments simples : $\frac{\lambda - nx}{1-x^2} = \frac{\lambda - n}{2(1+x)} + \frac{\lambda + n}{2(1-x)}$ . L'intégration donne $P(x) = C(1+x)^{\frac{\lambda+n}{2}}(1-x)^{\frac{n-\lambda}{2}}$ . Pour que $P$ soit un polynôme non nul, il faut et suffit que les exposants soient des entiers naturels. Posons $k = \frac{n-\lambda}{2}$ . Alors $k$ doit appartenir à $\{0, \dots, n\}$ . On en déduit $\lambda = n - 2k$ . Les valeurs propres possibles sont $\{n, n-2, \dots, -n\}$ . Il y a $n+1$ valeurs propres distinctes en dimension $n+1$ . $\boxed{\text{Sp}(u) = \{n-2k, \ k \in \{0, \dots, n\}\}}$ L'endomorphisme possède $n+1$ valeurs propres distinctes, il est donc diagonalisable. Une base de vecteurs propres est donnée par $(P_k)_{0 \leq k \leq n}$ où : $\boxed{P_k = (1+X)^{n-k}(1-X)^k}$
Soit $P \in E$ . Le polynôme $P'$ est de degré au plus $n-1$ , donc $(X+1)P'$ est de degré au plus $n$ . Ainsi, $v(P) = nP - (X+1)P'$ est une combinaison linéaire de polynômes de degré au plus $n$ . La linéarité est immédiate par dérivation. $\boxed{v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}$
Calculons l'image d'un terme de la base canonique : $v(X^k) = nX^k - (X+1)kX^{k-1} = (n-k)X^k - kX^{k-1}$ La matrice $M$ de $v$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^n)$ est triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux sont les $M_{k,k} = n-k$ pour $k \in \{0, \dots, n\}$ . Les valeurs propres sont donc $\{n, n-1, \dots, 1, 0\}$ . Il y a $n+1$ valeurs propres distinctes. $\boxed{v \text{ est diagonalisable}}$

Pour l'application $u$ , attention à ne pas oublier de vérifier que le terme en $X^{n+1}$ s'annule pour garantir que l'on reste dans $\mathbb{R}_n[X]$ .