Réduction d'opérateurs différentiels polynomiaux

Soit $n$ un entier naturel non nul et $E = \mathbb{K}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ sur un corps $\mathbb{K}$ de caractéristique nulle.

On considère l'application $u$ $u$ définie sur $E$ $E$ par :
$u(P) = (X^2-1)P'' + (2X+1)P'$
1. Justifier que $u$ définit un endomorphisme de $E$ .
2. Déterminer la matrice de $u$ dans la base canonique $\mathcal{B} = (1, X, \dots, X^n)$ .
3. Montrer que $u$ est diagonalisable et préciser son spectre.
On considère désormais l'application $f$ définie sur $E$ par : $f(P) = (X^2-1)P''$ Démontrer que $f$ est un endomorphisme diagonalisable de $E$ .

1.

Pour montrer qu'il s'agit d'un endomorphisme, calculer le degré de l'image d'un monôme $X^k$ et utiliser la linéarité de la dérivation.

2.

La matrice sera triangulaire supérieure ; ses valeurs propres sont donc situées sur sa diagonale principale.

3.

Pour la diagonalisabilité, vérifier si les valeurs propres sont distinctes ou si la dimension des sous-espaces propres coïncide avec la multiplicité des racines du polynôme caractéristique.

4.

Pour le noyau de $f$ , résoudre l'équation différentielle $P''=0$ dans l'espace des polynômes.

Idées clés

•

Stabilité du degré pour les opérateurs différentiels.

•

Étude de la structure d'une matrice triangulaire.

•

Critère de diagonalisation : comparaison entre dimension et multiplicité.

1. Étude de l'endomorphisme $u$

Linéarité : La dérivation est une application linéaire. Par combinaison linéaire d'applications linéaires (produits par des polynômes fixés), $u$ est linéaire.
Stabilité : Soit $P \in E$ . Si $P=0$ , $u(P)=0 \in E$ . Si $P \neq 0$ , posons $k = \deg(P) \le n$ . Le degré de $(X^2-1)P''$ est au plus $(2) + (k-2) = k$ . Le degré de $(2X+1)P'$ est au plus $(1) + (k-1) = k$ . Ainsi, $\deg(u(P)) \le k \le n$ , ce qui prouve que $u(P) \in E$ .
$\boxed{u \in \mathcal{L}(E)}$
Calculons l'image d'un monôme $X^j$ pour $j \in \{0, \dots, n\}$ : Pour $j=0$ , $u(1) = 0$ . Pour $j \ge 1$ : \begin{align*} u(X^j) &= (X^2-1)j(j-1)X^{j-2} + (2X+1)jX^{j-1}
&= j(j-1)X^j - j(j-1)X^{j-2} + 2jX^j + jX^{j-1}
&= (j(j-1) + 2j)X^j + jX^{j-1} - j(j-1)X^{j-2} \end{align*}
On obtient après simplification :
$\boxed{u(X^j) = j(j+1)X^j + jX^{j-1} - j(j-1)X^{j-2}}$
La matrice $M = \text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ est donc triangulaire supérieure :
$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & \dots & 0 0 & 2 & 2 & -6 & \dots & 0 0 & 0 & 6 & 3 & \ddots & \vdots 0 & 0 & 0 & 12 & \ddots & -n(n-1) \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & n 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & n(n+1) \end{pmatrix}$
Les valeurs propres de $u$ sont les éléments diagonaux de $M$ : $\text{Sp}(u) = \{ \lambda_j = j(j+1) \mid j \in \{0, \dots, n\} \}$
Vérifions si ces valeurs sont distinctes. Soient $j, k \in \{0, \dots, n\}$ tels que $\lambda_j = \lambda_k$ . \begin{align*} j(j+1) = k(k+1) &\iff j^2 + j - k^2 - k = 0
&\iff (j-k)(j+k) + (j-k) = 0
&\iff (j-k)(j+k+1) = 0 \end{align*}
Comme $j, k \ge 0$ , on a $j+k+1 \ge 1$ , donc $j+k+1 \neq 0$ . En caractéristique nulle, cela impose $j-k=0$ , soit $j=k$ .
Les $n+1$ valeurs propres sont distinctes dans un espace de dimension $n+1$ .
$\boxed{u \text{ est diagonalisable}}$

2. Étude de l'endomorphisme $f$

De la même manière, on montre que $f$ est un endomorphisme. Calculons l'image de la base canonique :

f(X^j) = (X^2-1)j(j-1)X^{j-2} = j(j-1)X^j - j(j-1)X^{j-2}

La matrice de $f$ est triangulaire supérieure avec pour coefficients diagonaux $\mu_j = j(j-1)$ . Le spectre de $f$ est :

\text{Sp}(f) = \{ \mu_j = j(j-1) \mid j \in \{0, \dots, n\} \}

Observons les premières valeurs : $\mu_0 = 0( -1) = 0$ et $\mu_1 = 1(0) = 0$ . La valeur propre $0$ est au moins double. Pour $j \ge 1$ , la fonction $x \mapsto x^2-x$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$ . Ainsi, $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n$ sont deux à deux distinctes et non nulles.

La multiplicité de la valeur propre $0$ dans le polynôme caractéristique est exactement $2$ . Déterminons la dimension du sous-espace propre associé $E_0(f) = \ker(f)$ : \begin{align*} P \in \ker(f) &\iff (X^2-1)P'' = 0
&\iff P'' = 0 \text{(car } \mathbb{K}[X] \text{ est intègre et } X^2-1 \neq 0\text{)}
&\iff P \in \mathbb{K}_1[X] \end{align*}

On en déduit que $E_0(f) = \text{Vect}(1, X)$ , d'où $\dim E_0(f) = 2$ . Pour les autres valeurs propres $\mu_j$ ( $j \ge 2$ ), elles sont simples, donc $\dim E_{\mu_j}(f) = 1$ .

La somme des dimensions des sous-espaces propres est :

\sum_{\lambda \in \text{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = 2 + (n-1) \times 1 = n+1 = \dim E

\boxed{f \text{ est diagonalisable}}

Attention dans la question 2 : l'existence d'une valeur propre double ( $\lambda=0$ ) ne permet pas de conclure immédiatement à la diagonalisabilité. Il est impératif de vérifier que la dimension du noyau est égale à la multiplicité (ici $2$ ).