Réduction d'une matrice d'ordre 4

Résolution.

Cherchons des vecteurs propres de la forme $X = (x, y, z, t)^T$. Par observation des blocs de la matrice :

Si on prend $X_1 = (1, -1, 0, 0)^T$, alors $B X_1 = (3, -3, 0, 0)^T = 3 X_1$. Ainsi $\lambda_1 = 3$ est valeur propre.

Si on prend $X_2 = (0, 0, 1, -1)^T$, alors $B X_2 = (0, 0, -3, 3)^T = -3 X_2$. Ainsi $\lambda_2 = -3$ est valeur propre.

Si on prend $X_3 = (1, 1, -1, -1)^T$, on calcule :

Ainsi $\lambda_3 = -1$ est valeur propre.

Si on prend $X_4 = (1, 1, 1, 1)^T$, on calcule :

Wait, le calcul pour $X_4$ donne : les deux premières composantes sont $-9$, les deux dernières sont $9$. Ce n'est pas un vecteur propre direct. Rectifions : essayons $X_4 = (1, 1, a, a)^T$. $B X_4 = (-5-4a, -5-4a, 4+5a, 4+5a)^T$. Pour que ce soit un vecteur propre associé à $\lambda$, il faut $\frac{-5-4a}{1} = \frac{4+5a}{a}$. $-5a - 4a^2 = 4 + 5a \iff 4a^2 + 10a + 4 = 0 \iff 2a^2 + 5a + 2 = 0$. Les racines sont $a = -2$ et $a = -1/2$. Pour $a = -2$, $\lambda = -5 - 4(-2) = 3$. Mais $3$ est déjà trouvé. Pour $a = 1$, reprenons le calcul de la trace : $\text{Tr}(B) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$. Somme des valeurs propres connues : $3 - 3 - 1 = -1$. La dernière valeur propre est donc $\lambda_4 = 1$.

Vérifions $\lambda_4 = 1$. $B-I = \begin{pmatrix} -2 & -4 & -2 & -2$
-4 & -2 & -2 & -2
2 & 2 & 0 & 4
2 & 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}. On trouve $X_4 = (1, 1, -2, -2)^T$ qui donne $B X_4 = (-5+8, -5+8, 4-4-8, 4-8-4)^T$? Non. Reprenons proprement $\det(B-\lambda I)$. On trouve après calcul :

Les valeurs propres sont toutes simples, donc $B$ est diagonalisable. Les vecteurs propres associés sont : (Note : un nouveau calcul montre $B(1,1,1,1) = (-9, -9, 9, 9)$, donc l'intuition sur la trace et les vecteurs était à ajuster selon les coefficients exacts).