Suites récurrentes et réduction

Déterminer toutes les suites de vecteurs $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\mathbb{R}^3$ satisfaisant la relation $X_{n+1} = A X_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , où :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

1.

La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

2.

Décomposer $A$ sous la forme $I + N$ où $N$ est une matrice nilpotente.

3.

Utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer $A^n$ .

Idées clés

•

Analyse du spectre d'une matrice triangulaire.

•

Calcul de puissances par décomposition de Dunford évidente ( $I$ et $N$ commutent).

Résolution.

La matrice $A$ est triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Le spectre est $\text{Sp}(A) = \{1\}$ , de multiplicité 3. Si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à $I$ , donc égale à $I$ . Or $A \neq I$ , donc $A$ n'est pas diagonalisable.

Posons $N = A - I$ . On a :

N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Calculons les puissances de

N

:

N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   \text{et}   N^3 = 0

La matrice

N

est nilpotente d'indice 3. Comme

I

et

N

commutent, on utilise la formule du binôme :

A^n = (I + N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} N^k

Pour

n \geq 2

, la somme s'arrête à

k=2

:

A^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2} N^2

Explicitons $A^n$ :

A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n & n 0 & 0 & n 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{n(n-1)}{2} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\boxed{A^n = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} 0 & 1 & n 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}

La solution de la récurrence est $X_n = A^n X_0$ . Si on note $X_0 = (x_0, y_0, z_0)^T$ , on obtient :

\boxed{\begin{cases} x_n = x_0 + n y_0 + \frac{n(n+1)}{2} z_0 y_n = y_0 + n z_0 z_n = z_0 \end{cases}}

Ne pas essayer de diagonaliser une matrice dont la seule valeur propre est $\lambda$ mais qui n'est pas $\lambda I$ . Elle est seulement trigonalisable.