Réduction explicite de matrices complexes

L'objectif de cet exercice est d'étudier la diagonalisabilité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de trois matrices aux structures variées. Pour chacune des matrices suivantes, déterminer son spectre, les dimensions de ses sous-espaces propres, puis conclure sur sa diagonalisabilité :

A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 2 & 1 & -2 3 & -1 & -2 \end{pmatrix},   B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 1 -1 & 1 & 2 \end{pmatrix},   C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

1.

Pour chaque matrice, commencez par calculer le polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(XI - M)$ .

2.

Rappel : une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et si, pour chaque valeur propre $\lambda$ , la multiplicité algébrique $m(\lambda)$ est égale à la dimension du sous-espace propre $E_\lambda = \ker(M - \lambda I)$ .

3.

Pour la matrice $C$ , qui est tridiagonale, vous pouvez chercher une relation de récurrence ou utiliser des propriétés de symétrie pour simplifier le calcul du déterminant.

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique par opérations élémentaires.

•

Lien entre multiplicité algébrique et dimension géométrique.

•

Critère de diagonalisabilité pour les matrices à spectre non simple.

1. Étude de la matrice $A$

Calculons le polynôme caractéristique de $A$ :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-2 & 1 & 1 -2 & X-1 & 2 -3 & 1 & X+2 \end{vmatrix}

En effectuant l'opération $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ , on obtient :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-2 & 1 & 1 -X & X-2 & 1 -X-1 & 0 & X+1 \end{vmatrix}

En factorisant $(X+1)$ dans la dernière ligne, puis en faisant $C_1 \leftarrow C_1 + C_3$ :

\chi_A(X) = (X+1) \begin{vmatrix} X-2 & 1 & 1 -X & X-2 & 1 -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (X+1) \begin{vmatrix} X-1 & 1 & 1 -X+1 & X-2 & 1 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

On en déduit :

\chi_A(X) = (X+1) [ (X-1)(X-2) - (1)(-X+1) ] = (X+1)(X-1)(X-2+1)

\boxed{\chi_A(X) = (X-1)^2(X+1)}

Le spectre de $A$ est $\text{Sp}(A) = \{1, -1\}$ . La valeur propre $1$ est de multiplicité algébrique $m(1)=2$ . Cherchons la dimension de $E_1 = \ker(A - I)$ :

A - I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 2 & 0 & -2 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

L'équation $(A-I)X=0$ donne le système : \begin{align*} \begin{cases} x - y - z = 0
2x - 2z = 0
3x - y - 3z = 0 \end{cases} &\iff \begin{cases} x = z
y = 0 \end{cases} \end{align*}

Ainsi $E_1 = \text{Vect}((1, 0, 1))$ . On a $\dim(E_1) = 1$ , alors que $m(1) = 2$ .

\boxed{\text{La matrice } A \text{ n'est pas diagonalisable.}}

\vspace{0.5cm} 2. Étude de la matrice $B$

Calculons $\chi_B(X)$ :

\chi_B(X) = \begin{vmatrix} X & -1 & -1 1 & X-1 & -1 1 & -1 & X-2 \end{vmatrix}

En faisant $L_1 \leftarrow L_1 - L_2$ :

\chi_B(X) = \begin{vmatrix} X-1 & -X & 0 1 & X-1 & -1 1 & -1 & X-2 \end{vmatrix}

Après calcul complet du déterminant (ou par observation des racines évidentes) :

\boxed{\chi_B(X) = (X-1)^3}

Le spectre est réduit à $\{1\}$ . Si $B$ était diagonalisable, elle serait semblable à l'identité, donc égale à $I$ . Or $B \neq I$ .

\boxed{\text{La matrice } B \text{ n'est pas diagonalisable.}}

\vspace{0.5cm} 3. Étude de la matrice $C$

Calculons $\chi_C(X)$ en développant selon la première ligne :

\chi_C(X) = \begin{vmatrix} X & -1 & 0 & 0 -3 & X & -2 & 0 0 & -2 & X & -3 0 & 0 & -1 & X \end{vmatrix} = X \begin{vmatrix} X & -2 & 0 -2 & X & -3 0 & -1 & X \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -3 & -2 & 0 0 & X & -3 0 & -1 & X \end{vmatrix}

Le premier bloc $3\times 3$ vaut $X(X^2-3) - (-2)(-2X) = X^3 - 7X$ . Le second bloc $3\times 3$ vaut $-3(X^2-3)$ . On obtient :

\chi_C(X) = X(X^3 - 7X) - 3(X^2-3) = X^4 - 7X^2 - 3X^2 + 9

\boxed{\chi_C(X) = X^4 - 10X^2 + 9}

On pose $Y = X^2$ . L'équation $Y^2 - 10Y + 9 = 0$ a pour racines $1$ et $9$ . Les racines de $\chi_C$ sont donc $1, -1, 3, -3$ .

\boxed{\text{Sp}(C) = \{1, -1, 3, -3\}}

Le polynôme caractéristique possède 4 racines distinctes en dimension 4.

\boxed{\text{La matrice } C \text{ est diagonalisable.}}

Attention à ne pas conclure trop vite sur la non-diagonalisabilité d'une matrice dès que vous voyez une racine double. Il faut impérativement vérifier la dimension du sous-espace propre associé. Pour $B$ , l'argument $B \neq \lambda I$ est très efficace pour une valeur propre unique.