Réduction d'une matrice symétrique en croix

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 2$ . On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 1 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 1 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix}

Plus formellement, si l'on note $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ , on a :

$a_{i,i} = 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ ;
$a_{1,j} = a_{j,1} = 1$ pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ ;
$a_{i,j} = 0$ sinon.

L'objectif est de diagonaliser cette matrice, c'est-à-dire de déterminer ses valeurs propres, leurs multiplicités respectives, ainsi qu'une base de vecteurs propres.

1.

Introduire la matrice $B = A - I_n$ et étudier ses propriétés (rang, symétrie).

2.

Utiliser le lien entre le rang de $B$ et la multiplicité de la valeur propre $0$ .

3.

Exploiter la trace de $B$ et de $B^2$ pour trouver les valeurs propres non nulles de $B$ .

4.

Se souvenir que si $B = P D P^{-1}$ , alors $A = I_n + B = P(I_n + D)P^{-1}$ .

Idées clés

•

Étude d'une perturbation de l'identité : $A = I_n + B$ .

•

Relation rang-multiplicité pour la valeur propre $0$ .

•

Utilisation de la trace et de la symétrie réelle pour la diagonalisabilité.

1. Décomposition de la matrice.

Posons $B = A - I_n$ . La matrice $B$ s'écrit :

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \dots & 1 1 & 0 & 0 & \dots & 0 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}

Puisque $A = I_n + B$ , les vecteurs propres de $A$ et de $B$ sont identiques.

Si $\lambda$ est une valeur propre de $B$ , alors $1 + \lambda$ est une valeur propre de $A$ .

2. Recherche des éléments propres de $B$ .

La matrice $B$ est réelle et symétrique, elle est donc diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ d'après le théorème spectral.

Observons le rang de $B$ . Les colonnes $C_2, C_3, \dots, C_n$ sont toutes égales au vecteur $e_1 = (1, 0, \dots, 0)^T$ .

Ainsi, l'image de $B$ est engendrée par $C_1$ et $C_2$ . Comme ces deux colonnes sont linéairement indépendantes (car $n \geq 2$ ), on a :

\boxed{rg(B) = 2}

D'après le théorème du rang, le noyau de $B$ est de dimension :

\dim(\ker B) = n - rg(B) = n - 2

Par conséquent, $0$ est une valeur propre de $B$ de multiplicité au moins $n-2$ .

Puisque $B$ est diagonalisable, la multiplicité de la valeur propre $0$ est exactement $n-2$ .

3. Détermination des valeurs propres non nulles.

Notons $\lambda_1$ et $\lambda_2$ les deux valeurs propres manquantes de $B$ (éventuellement confondues).

Nous utilisons les relations sur la trace :

Tr(B) = \sum_{i=1}^n \lambda_i = (n-2) \cdot 0 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0

D'où $\lambda_2 = -\lambda_1$ .

Calculons maintenant $Tr(B^2)$ , qui est la somme des carrés des valeurs propres :

Tr(B^2) = \sum_{i,j} b_{i,j}^2 = 2(n-1)

En effet, dans $B$ , il y a $(n-1)$ coefficients égaux à $1$ sur la première ligne (hors diagonale) et $(n-1)$ coefficients égaux à $1$ sur la première colonne.

On en déduit l'équation :

\lambda_1^2 + \lambda_2^2 = 2\lambda_1^2 = 2(n-1)

\boxed{\lambda_1 = \sqrt{n-1}   \text{et}   \lambda_2 = -\sqrt{n-1}}

4. Synthèse pour la matrice $A$ .

Les valeurs propres de $A$ sont obtenues en ajoutant $1$ à celles de $B$ :

$\mu_1 = 1$ avec une multiplicité de $n-2$ .
$\mu_2 = 1 + \sqrt{n-1}$ avec une multiplicité de $1$ .
$\mu_3 = 1 - \sqrt{n-1}$ avec une multiplicité de $1$ .

5. Recherche des vecteurs propres.

Pour la valeur propre $1$ (correspondant à $\ker B$ ) : Un vecteur $X = (x_1, \dots, x_n)^T$ est dans $\ker B$ si et seulement si : $\begin{cases} \sum_{j=2}^n x_j = 0 x_1 = 0 \end{cases}$ Une base de cet espace est donnée par les $n-2$ vecteurs : $\boxed{V_k = e_2 - e_k \text{pour } k \in \{3, \dots, n\}}$
Pour les valeurs propres $1 \pm \sqrt{n-1$ $1 \pm n - 1$ } (correspondant à $B X = \pm \sqrt{n-1} X$ ) : Soit $\lambda$ une de ces valeurs propres. Le système $BX = \lambda X$ donne : $\begin{cases} \sum_{j=2}^n x_j = \lambda x_1 x_1 = \lambda x_j (\forall j \geq 2) \end{cases}$ Si $x_1 = 0$ , alors tous les $x_j$ sont nuls. Supposons $x_1 = \lambda$ . Alors $x_j = 1$ pour tout $j \geq 2$ . La première équation devient $(n-1) = \lambda^2$ , ce qui est cohérent. Les vecteurs propres associés sont donc : $\boxed{X_{\pm} = (\pm\sqrt{n-1}, 1, 1, \dots, 1)^T}$

Ne pas oublier de décaler les valeurs propres à la fin. On a diagonalisé $B$ , mais la question porte sur $A = B + I$ . L'erreur classique est de donner le spectre de $B$ comme réponse finale.