Réduction explicite et calcul de puissances

Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 -2 & 5 & 2 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}

Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$ . On précisera $P^{-1}$ .
En déduire l'expression de la matrice $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

1.

Calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes pour faciliter la factorisation.

2.

Déterminer les sous-espaces propres en résolvant les systèmes $(A - \lambda I)X = 0$ . Vérifier que la somme des dimensions égale 3.

3.

Utiliser la relation $A^n = P D^n P^{-1}$ ou, alternativement, la division euclidienne de $X^n$ par un polynôme annulateur de $A$ .

Idées clés

•

Diagonalisation par étude du spectre et des dimensions des sous-espaces propres.

•

Utilisation du lien entre puissance d'une matrice et sa forme diagonale.

•

Inversion de matrice par résolution de système linéaire.

Résolution.

Calcul du polynôme caractéristique. Notons $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ . On a : $\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & -3 & -2 2 & X-5 & -2 -2 & 3 & X \end{vmatrix}$ Effectuons l'opération $C_1 \leftarrow C_1 + C_3$ : $\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-2 & -3 & -2 0 & X-5 & -2 X-2 & 3 & X \end{vmatrix} = (X-2) \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 0 & X-5 & -2 1 & 3 & X \end{vmatrix}$ Effectuons $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $\chi_A(X) = (X-2) \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 0 & X-5 & -2 0 & 6 & X+2 \end{vmatrix} = (X-2) \left[ (X-5)(X+2) + 12 \right]$ Le calcul du trinôme donne $X^2 - 3X - 10 + 12 = X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$ . D'où le polynôme caractéristique : $\boxed{\chi_A(X) = (X-1)(X-2)^2}$ Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$ (simple) et $\lambda_2 = 2$ (double).
Détermination des sous-espaces propres.
- Pour $\lambda_1 = 1$ : $E_1 = \ker(A-I)$ . $(x,y,z) \in E_1 \iff \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 -2 & 4 & 2 2 & -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix}$ $L_2 - 2L_1$ donne $-2y - 2z = 0$ , soit $y = -z$ . Puis $-x + 3(-z) + 2z = 0$ donne $x = -z$ . On choisit $v_1 = (1, 1, -1)$ .
- Pour $\lambda_2 = 2$ : $E_2 = \ker(A-2I)$ . $(x,y,z) \in E_2 \iff \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 -2 & 3 & 2 2 & -3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix}$ L'unique équation est $-2x + 3y + 2z = 0$ . C'est un plan vectoriel. $\dim(E_2) = 2$ . On peut choisir $v_2 = (1, 0, 1)$ et $v_3 = (3, 2, 0)$ .
Comme $\dim E_1 + \dim E_2 = 3$ $dim E_{1} + dim E_{2} = 3$ , la matrice $A$ $A$ est diagonalisable.
Matrices de passage. Posons $D = \text{diag}(1, 2, 2)$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Pour calculer $P^{-1}$ , on résout $PX = Y$ : \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} x + y + 3z = a
x + 2z = b
-x + y = c \end{array} \right. &\iff \left\{ \begin{array}{l} x = b - 2z
y = c + x = c + b - 2z
(b-2z) + (c+b-2z) + 3z = a \end{array} \right.
&\iff \left\{ \begin{array}{l} z = -a + 2b + c
x = b - 2(-a+2b+c) = 2a - 3b - 2c
y = c + (2a - 3b - 2c) = 2a - 3b - c \end{array} \right. \end{align*} D'où :
$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -2 2 & -3 & -1 -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}}$
Calcul de $A^n$ . On a $A^n = P D^n P^{-1}$ . $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2^n & 0 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -2 2 & -3 & -1 -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ Après calcul du produit $P D^n$ , on obtient $\begin{pmatrix} 1 & 2^n & 3 \cdot 2^n 1 & 0 & 2 \cdot 2^n -1 & 2^n & 0 \end{pmatrix}$ . En multipliant par $P^{-1}$ à droite : $\boxed{A^n = \begin{pmatrix} 2-2^n & 3 \cdot 2^n - 3 & 2 \cdot 2^n - 2 2 - 2 \cdot 2^n & 4 \cdot 2^n - 3 & 2 \cdot 2^n - 2 2 \cdot 2^n - 2 & 3 - 3 \cdot 2^n & 2-2^n \end{pmatrix}}$

Une erreur classique est de conclure à la diagonalisabilité dès que l'on a les valeurs propres sans vérifier que la dimension de chaque sous-espace propre est bien égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante dans le polynôme caractéristique.