Réduction et similitude des matrices de rang 1

1. Structure des endomorphismes de rang 1.

1. Puisque $\operatorname{rg}(u) = 1$, l'image $\operatorname{Im}(u)$ est une droite vectorielle. Soit $a$ un vecteur non nul engendrant cette droite. Pour tout $x \in E$, $u(x) \in \operatorname{Vect}(a)$, il existe donc un scalaire dépendent de $x$, noté $\phi(x)$, tel que $u(x) = \phi(x)a$. La linéarité de $u$ impose la linéarité de $\phi$. Comme $u \neq 0$, $\phi$ est une forme linéaire non nulle.

2. Calculons $u^2(x)$ pour tout $x \in E$ :
   $$u^2(x) = u(\phi(x)a) = \phi(x) u(a) = \phi(x) \phi(a) a$$
   Or, dans une base $(a, e_2, \dots, e_n)$ dont les $n-1$ derniers vecteurs sont dans $\ker \phi$, la matrice de $u$ n'a qu'un seul élément possible non nul sur la diagonale : $\phi(a)$ en position $(1,1)$. On en déduit que $\operatorname{Tr}(u) = \phi(a)$. Ainsi :
   $$\boxed{u^2 = \operatorname{Tr}(u) u}$$
   Comme $u \neq 0$, il existe $x$ tel que $u(x) = a \neq 0$. L'égalité $u(a) = \operatorname{Tr}(u) a$ montre que $\operatorname{Tr}(u)$ est valeur propre de $u$.

2. Critère de diagonalisation.

• (i) $\iff$ (ii) : Par le théorème du rang, $\dim \ker(u) = n-1$. La valeur propre 0 est donc de multiplicité géométrique $n-1$. Si $\operatorname{Tr}(u) \neq 0$, $\operatorname{Tr}(u)$ est une valeur propre différente de 0. La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $(n-1) + 1 = n$, donc $u$ est diagonalisable. Si $\operatorname{Tr}(u) = 0$, la seule valeur propre est 0. Si $u$ était diagonalisable, $u$ serait nul, ce qui contredit $\operatorname{rg}(u)=1$.
• (ii) $\iff$ (iii) : D'après la relation $u^2 = \operatorname{Tr}(u) u$, il est immédiat que si $\operatorname{Tr}(u) = 0$, alors $u^2 = 0$. Réciproquement, si $u^2 = 0$, comme $u \neq 0$, le polynôme $X^2$ est annulateur. La seule valeur propre possible est 0, donc $\operatorname{Tr}(u) = 0$.

3. Classification par similitude.

1. Le sens direct est évident (la trace est un invariant de similitude). Pour la réciproque, soit $\lambda = \operatorname{Tr}(u) = \operatorname{Tr}(v)$. Cas 1 : $\lambda \neq 0$. $u$ et $v$ sont diagonalisables. Ils ont le même spectre $\{0, \dots, 0, \lambda\}$ avec les mêmes multiplicités. Ils sont donc tous deux semblables à la matrice diagonale $D_\lambda = \operatorname{diag}(0, \dots, 0, \lambda)$. Cas 2 : $\lambda = 0$. $u$ et $v$ sont nilpotents de rang 1. Il existe une base $(e_1, \dots, e_n)$ telle que $u(e_1) = e_2$ et $u(e_i) = 0$ pour $i \geqslant 2$. En effet, soit $e_2 \in \operatorname{Im}(u) \setminus \{0\}$. Comme $u^2=0$, $e_2 \in \ker(u)$. On complète $e_2$ en une base $(e_2, \dots, e_n)$ de $\ker(u)$. Soit $e_1$ tel que $u(e_1) = e_2$. La famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base car $e_1 \notin \ker(u)$. Dans cette base, la matrice de $u$ est toujours la même (un seul 1 en position (2,1) ou (1,2) selon le choix), donc $u$ et $v$ sont semblables.

2. Les classes de similitude sont caractérisées par la trace $\lambda$.
   $$\boxed{\text{Si } \lambda \neq 0, A \sim \begin{pmatrix} \lambda & 0$$
   0 & 0_{n-1} \end{pmatrix}   \text{et si } \lambda = 0, A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0
   0 & 0 & 0
   0 & 0 & 0_{n-2} \end{pmatrix}}

4. Applications.

1. La matrice $A = X {}^t Y$ est de rang 1 car toutes ses colonnes sont colinéaires à $X$. Sa trace est $\operatorname{Tr}(X {}^t Y) = \operatorname{Tr}({}^t Y X) = {}^t Y X$. D'après la question 2, $A$ est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle :
   $$\boxed{{}^t Y X \neq 0}$$

2. $M$ s'écrit $X {}^t X$ avec $X = (x_1, \dots, x_n)$. Comme $X \neq 0$, $\operatorname{rg}(M) = 1$. Sa trace est $\sum_{i=1}^n x_i^2$. Elle est diagonalisable si et seulement si $\boxed{\sum_{i=1}^n x_i^2 \neq 0}$. Sur $\mathbb{R$ :} $\sum x_i^2 = 0 \iff \forall i, x_i = 0$. Comme $X \neq 0$, la trace est toujours strictement positive, donc $M$ est toujours diagonalisable. Sur $\mathbb{C$ :} On peut avoir une trace nulle avec des coefficients non nuls (ex: $X = (1, i, 0, \dots, 0)$), donc elle n'est pas toujours diagonalisable.