Éléments propres d'une matrice de blocs de uns

Soient $n, p, q$ trois entiers naturels tels que $2p \le n$ et $2q \le n$ . On note $U_{p,q} \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à $1$ .

On considère la matrice $C_{p,q} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par la structure en blocs suivante :

C_{p,q} = \begin{pmatrix} U_{p,q} & 0_{p, n-2q} & U_{p,q} 0_{n-2p, q} & 0_{n-2p, n-2q} & 0_{n-2p, q} U_{p,q} & 0_{p, n-2q} & U_{p,q} \end{pmatrix}

Déterminer le rang, la trace, puis les éléments propres (valeurs propres et sous-espaces propres) de $C_{p,q}$ .

1.

Observer que toutes les lignes non nulles de $C_{p,q}$ sont identiques pour déterminer le rang.

2.

Utiliser la propriété des matrices de rang $1$ dont la trace est non nulle.

3.

Pour la trace, faire attention aux indices de la diagonale qui tombent dans les blocs $U_{p,q}$ .

Idées clés

•

Une matrice dont toutes les lignes sont proportionnelles à une même ligne non nulle est de rang $1$ .

•

Pour une matrice $A$ de rang $1$ , le spectre est $\text{Sp}(A) = \{0, \text{Tr}(A)\}$ .

•

Le sous-espace propre associé à $\lambda = \text{Tr}(A)$ (si $\lambda \neq 0$ ) est dirigé par n'importe quelle colonne non nulle de $A$ .

1. Détermination du rang.

Toutes les lignes de l'imposante matrice $C_{p,q}$ sont soit nulles (pour les lignes d'indice $i$ tel que $p < i \le n-p$ ), soit égales à la ligne :

L = (\underbrace{1, \dots, 1}_{q}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n-2q}, \underbrace{1, \dots, 1}_{q})

Comme $p \ge 1$ et $q \ge 1$ , il existe au moins une ligne non nulle et toutes les autres lui sont colinéaires.

\boxed{\text{rg}(C_{p,q}) = 1}

2. Calcul de la trace.

La trace est la somme des coefficients diagonaux $c_{i,i}$ .

Pour $1 \le i \le p$ , le coefficient $c_{i,i}$ appartient au bloc $U_{p,q}$ en haut à gauche. Il vaut $1$ si et seulement si l'indice de colonne $i$ est inférieur ou égal à $q$ . Il y a donc $\min(p, q)$ coefficients égaux à $1$ .
Pour $p < i \le n-p$ , le coefficient $c_{i,i}$ appartient au bloc central nul, donc $c_{i,i} = 0$ .
Pour $n-p+1 \le i \le n$ , le coefficient $c_{i,i}$ appartient au bloc $U_{p,q}$ en bas à droite. En notant $j = i - (n-p)$ l'indice relatif de ligne et $k = i - (n-q)$ l'indice relatif de colonne dans ce bloc, on a $c_{i,i} = 1$ si $1 \le k \le q$ , soit $n-q+1 \le i \le n$ . Le nombre de tels indices est $n - \max(n-p+1, n-q+1) + 1 = \min(p, q)$ .

En sommant ces deux contributions, on obtient :

\boxed{\text{Tr}(C_{p,q}) = 2 \min(p, q)}

3. Valeurs propres.

Puisque la matrice est de rang $1$ , l'endomorphisme associé possède un noyau de dimension $n-1$ . Ainsi, $0$ est valeur propre de multiplicité au moins $n-1$ .

La somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité dans $\mathbb{C}$ ) étant égale à la trace, la dernière valeur propre est $\lambda = \text{Tr}(C_{p,q})$ .

Comme $p, q \ge 1$ , on a $\lambda = 2 \min(p, q) > 0$ . La matrice est donc diagonalisable.

\boxed{\text{Sp}(C_{p,q}) = \{0, 2\min(p, q)\}}

4. Sous-espaces propres.

Pour $\lambda = 0$ , le sous-espace propre est le noyau de $C_{p,q}$ . Un vecteur $X = (x_1, \dots, x_n)^T$ appartient à $E_0$ si et seulement si $C_{p,q} X = 0$ , ce qui équivaut à l'unique équation scalaire (définie par la ligne $L$ ) : $\boxed{E_0 = \left\{ X \in \mathbb{R}^n \mid \sum_{i=1}^q x_i + \sum_{i=n-q+1}^n x_i = 0 \right\}}$ C'est un hyperplan de $\mathbb{R}^n$ .
Pour $\lambda = 2\min(p, q)$ , le sous-espace propre est dirigé par n'importe quelle colonne non nulle de la matrice (puisque $C_{p,q} X = \lambda X$ et $X \in \text{Im}(C_{p,q})$ ). En prenant la première colonne : $\boxed{E_\lambda = \text{Vect} \left( (\underbrace{1, \dots, 1}_{p}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n-2p}, \underbrace{1, \dots, 1}_{p})^T \right)}$

L'erreur classique consiste à oublier que les blocs $U_{p,q}$ ne sont pas nécessairement carrés. Il faut être très vigilant sur le nombre de $1$ qui tombent sur la diagonale principale de la grande matrice $C_{p,q}$ , d'où l'apparition du terme $\min(p, q)$ .