Entrelacement par un rang un | WikiPrépa Maths

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère deux endomorphismes $f$ et $g$ de $E$ .

On suppose que $f$ et $g$ possèdent au moins une valeur propre en commun.

Démontrer qu'il existe un endomorphisme $\phi \in \mathcal{L}(E)$ de rang 1 tel que :

\phi \circ f = g \circ \phi

1.

Traduire le problème en termes matriciels en fixant une base de $E$ .

2.

Utiliser le fait qu'une matrice et sa transposée ont le même spectre sur $\mathbb{C}$ .

3.

Se souvenir que toute matrice de rang 1 peut s'écrire sous la forme $M = Y X^T$ où $X$ et $Y$ sont des vecteurs colonnes non nuls.

Idées clés

•

Passage aux matrices pour utiliser la transposition.

•

Propriété spectrale : $\mathrm{Sp}(A) = \mathrm{Sp}(A^T)$ .

•

Caractérisation des matrices de rang 1 comme produits extérieurs.

Résolution.

Fixons une base $\mathcal{B}$ de $E$ . Notons $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ et $B = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g)$ les matrices représentatives de $f$ et $g$ dans cette base.

L'hypothèse stipule que $f$ et $g$ ont une valeur propre commune, ce qui revient à dire que :

\mathrm{Sp}(A) \cap \mathrm{Sp}(B) \neq \emptyset

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre commune à $A$ et $B$ .

1. Recherche de vecteurs propres.

Puisque $\lambda$ est valeur propre de $B$ , il existe un vecteur colonne non nul $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$ tel que :

\boxed{BY = \lambda Y}

D'autre part, nous savons que le polynôme caractéristique d'une matrice est identique à celui de sa transposée : $\chi_A = \chi_{A^T}$ .

Par conséquent, $\lambda$ est également une valeur propre de $A^T$ . Il existe donc un vecteur colonne non nul $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$ tel que :

A^T X = \lambda X

En appliquant la transposition à cette égalité, on obtient :

\boxed{X^T A = \lambda X^T}

2. Construction de la matrice $M$ .

Considérons la matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par le produit :

M = Y X^T

Cette matrice $M$ est le produit d'une matrice de format $(n,1)$ et d'une matrice de format $(1,n)$ . Ses colonnes sont toutes colinéaires au vecteur $Y$ .

Comme $X \neq 0$ et $Y \neq 0$ , la matrice $M$ n'est pas nulle et son image est la droite vectorielle engendrée par $Y$ . On en déduit :

\boxed{\mathrm{rg}(M) = 1}

3. Vérification de la relation d'entrelacement.

Calculons maintenant les produits $MA$ et $BM$ en utilisant l'associativité du produit matriciel :

MA = (YX^T)A = Y(X^T A)

En utilisant la relation $X^T A = \lambda X^T$ établie précédemment, il vient :

MA = Y(\lambda X^T) = \lambda (YX^T) = \lambda M

De la même manière, calculons $BM$ :

BM = B(YX^T) = (BY)X^T

En utilisant $BY = \lambda Y$ , on obtient :

BM = (\lambda Y)X^T = \lambda (YX^T) = \lambda M

On en conclut que :

\boxed{MA = BM}

Conclusion.

Soit $\phi$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est $M$ .

Puisque $\mathrm{rg}(M)=1$ , l'endomorphisme $\phi$ est de rang 1. La relation matricielle $MA = BM$ se traduit exactement par :

\boxed{\phi \circ f = g \circ \phi}

L'erreur fréquente est de chercher $\phi$ sous la forme d'un polynôme en $f$ ou en $g$ . Or, un polynôme en $f$ commute avec $f$ , mais n'entrelace pas nécessairement $f$ et $g$ (sauf si $f=g$ ). Ici, la forme "rang 1" impose une structure de type $u \otimes v^*$ .