Endomorphisme de trace et diagonalisabilité

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice non nulle. On considère l'application $\Phi$ définie sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ par :

\Phi(M) = \operatorname{tr}(AM) I_n

Exprimer l'endomorphisme $\Phi^2 = \Phi \circ \Phi$ comme un multiple scalaire de $\Phi$ .
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $\Phi$ soit diagonalisable.
Dans le cas où $\Phi$ est diagonalisable, préciser son spectre ainsi que les sous-espaces propres associés.

1.

Pour la première question, utiliser la linéarité de la trace pour calculer $\Phi(\Phi(M))$ .

2.

Un endomorphisme de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle. Ici, on peut utiliser un polynôme annulateur simple déduit de la question 1.

3.

Penser à la dimension de l'image de $\Phi$ pour identifier les valeurs propres possibles.

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

Relation entre le rang d'un endomorphisme et la dimension de ses sous-espaces propres.

•

Propriété de la forme linéaire $M \mapsto \operatorname{tr}(AM)$ .

Résolution.

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Par définition de $\Phi$ , nous avons : $\Phi^2(M) = \Phi\left( \operatorname{tr}(AM) I_n \right)$
Par linéarité de la trace, on peut sortir le scalaire $\operatorname{tr}(AM)$ :
$\Phi^2(M) = \operatorname{tr}(AM) \Phi(I_n) = \operatorname{tr}(AM) \operatorname{tr}(A I_n) I_n$
Comme $\operatorname{tr}(A I_n) = \operatorname{tr}(A)$ , on obtient :
$\Phi^2(M) = \operatorname{tr}(A) \left( \operatorname{tr}(AM) I_n \right) = \operatorname{tr}(A) \Phi(M)$
Ceci étant vrai pour tout $M$ , on en déduit l'égalité d'endomorphismes :
$\boxed{\Phi^2 = \operatorname{tr}(A) \Phi}$
Le polynôme $P(X) = X^2 - \operatorname{tr}(A)X = X(X - \operatorname{tr}(A))$ est un polynôme annulateur de $\Phi$ .
Premier cas : $\operatorname{tr$ (A) \neq 0 $tr (A) \neq = 0$ .} Le polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ et possède deux racines simples ( $0$ et $\operatorname{tr}(A)$ ). D'après le critère de diagonalisation par les polynômes annulateurs, $\Phi$ est diagonalisable.
Second cas : $\operatorname{tr$ (A) = 0 $tr (A) = 0$ .} Ici, $P(X) = X^2$ annule $\Phi$ . L'endomorphisme est donc nilpotent. Un endomorphisme nilpotent est diagonalisable si et seulement s'il est nul.
Vérifions si $\Phi$ peut être nul. Puisque $A \neq 0$ , considérons sa transposée $A^T$ . On a $\operatorname{tr}(A A^T) = \sum_{i,j} a_{i,j}^2 > 0$ , donc $\Phi(A^T) = \operatorname{tr}(AA^T) I_n \neq 0$ . Ainsi $\Phi \neq 0$ .
Par conséquent, si $\operatorname{tr}(A) = 0$ , $\Phi$ n'est pas diagonalisable.
Conclusion :
$\boxed{\Phi \text{ est diagonalisable si et seulement si } \operatorname{tr}(A) \neq 0}$
Supposons $\operatorname{tr}(A) \neq 0$ . L'image de $\Phi$ est incluse dans $\operatorname{Vect}(I_n)$ . Comme $\Phi(A^T) \neq 0$ , on a $\operatorname{Im}(\Phi) = \operatorname{Vect}(I_n)$ . Le rang de $\Phi$ est donc $1$ .
D'après le théorème du rang, $\dim \operatorname{Ker}(\Phi) = n^2 - 1$ . Le noyau de $\Phi$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $0$ . Comme $A \neq 0$ , l'application $M \mapsto \operatorname{tr}(AM)$ est une forme linéaire non nulle.
$\boxed{E_0(\Phi) = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr}(AM) = 0 \}}$
D'après la question 1, $\Phi(I_n) = \operatorname{tr}(A) I_n$ . Comme $I_n \neq 0$ et $\operatorname{tr}(A) \neq 0$ , $I_n$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\operatorname{tr}(A)$ . Puisque $\dim E_0(\Phi) = n^2 - 1$ , la seule autre valeur propre possible est $\operatorname{tr}(A)$ pour que la somme des dimensions égale $n^2$ .
$\boxed{E_{\operatorname{tr}(A)}(\Phi) = \operatorname{Vect}(I_n)}$
Le spectre est donc $\operatorname{Sp}(\Phi) = \{0, \operatorname{tr}(A)\}$ .

L'erreur classique est d'oublier de prouver que $\Phi \neq 0$ dans le cas où $\operatorname{tr}(A)=0$ . Il ne suffit pas de dire que $A \neq 0$ , il faut montrer qu'il existe une matrice $M$ telle que $\operatorname{tr}(AM) \neq 0$ . Le choix de $M=A^T$ (ou $A^*$ sur $\mathbb{C}$ ) est l'argument standard utilisant le produit scalaire canonique.