Caractérisation de la trigonalisabilité en dimension 2

On considère l'espace vectoriel $M_2(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels.

L'objectif est de déterminer une fonction $f : M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ qui soit continue sur $M_2(\mathbb{R})$ et qui vérifie la propriété suivante : Pour toute matrice $M \in M_2(\mathbb{R})$ , $f(M) = 0$ si et seulement si $M$ est trigonalisable dans $M_2(\mathbb{R})$ .

1.

Rappeler la condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice réelle soit trigonalisable sur $\mathbb{R}$ en lien avec son polynôme caractéristique.

2.

Exprimer le discriminant $\Delta(M)$ du polynôme caractéristique d'une matrice $M \in M_2(\mathbb{R})$ en fonction de sa trace et de son déterminant.

3.

Construire une fonction continue sur $\mathbb{R}$ qui s'annule exactement sur l'ensemble des réels positifs ou nuls.

Idées clés

•

Critère de trigonalisation : un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

•

En dimension 2, le caractère scindé d'un polynôme de degré 2 dépend du signe de son discriminant.

•

Utilisation de la fonction partie négative pour traduire une condition d'inégalité par une annulation.

Résolution.

Soit $M \in M_2(\mathbb{R})$ . On note $\chi_M(X)$ son polynôme caractéristique.

D'après le cours, $M$ est trigonalisable dans $M_2(\mathbb{R})$ si et seulement si $\chi_M$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .

\chi_M(X) = \det(XI_2 - M) = X^2 - \text{Tr}(M)X + \det(M)

Comme $\chi_M$ est un polynôme de degré $2$ à coefficients réels, il est scindé sur $\mathbb{R}$ si et seulement si son discriminant, noté $\Delta(M)$ , est supérieur ou égal à zéro.

On calcule ce discriminant :

\Delta(M) = \text{Tr}(M)^2 - 4\det(M)

La fonction $\Delta : M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est continue car elle est définie comme une somme et un produit de fonctions continues (la trace et le déterminant sont des fonctions polynomiales des coefficients de la matrice).

Ainsi, nous avons l'équivalence :

\boxed{M \text{ est trigonalisable dans } M_2(\mathbb{R}) \iff \Delta(M) \ge 0}

Nous cherchons maintenant une fonction $f$ continue telle que $f(M) = 0 \iff \Delta(M) \ge 0$ .

Considérons la fonction $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $h(x) = \max(0, -x)$ . Cette fonction est bien continue sur $\mathbb{R}$ .

On remarque que :

h(x) = 0 \iff \max(0, -x) = 0 \iff -x \le 0 \iff x \ge 0

En posant $f = h \circ \Delta$ , c'est-à-dire :

\boxed{f(M) = \max\left( 0, 4\det(M) - \text{Tr}(M)^2 \right)}

L'application $f$ est continue par composition d'applications continues.

De plus, par construction de $h$ :

f(M) = 0 \iff \Delta(M) \ge 0

Conclusion. La fonction $f : M \mapsto \max(0, 4\det(M) - \text{Tr}(M)^2)$ convient.

Une erreur classique serait d'oublier que la trigonalisabilité dépend du corps de base. Sur $\mathbb{C}$ , toutes les matrices de $M_n(\mathbb{C})$ sont trigonalisables, donc toute fonction constante nulle conviendrait. Ici, le corps $\mathbb{R}$ impose la condition sur le discriminant.