Presque diagonalisabilité dans Mn(C)

Soit $n$ un entier naturel non nul et $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

On se donne un réel $\varepsilon > 0$ strictement positif.

Démontrer que la matrice $M$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure $T = (t_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ telle que tous ses coefficients strictement au-dessus de la diagonale soient de module inférieur ou égal à $\varepsilon$ , c'est-à-dire :

\forall (i,j) \in \{1, \dots, n\}^2,   i < j \implies |t_{i,j}| \le \varepsilon

1.

Commencer par utiliser le fait que toute matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable.

2.

Effectuer un changement de base supplémentaire à l'aide d'une matrice diagonale de la forme $D = \text{diag}(1, \delta, \delta^2, \dots, \delta^{n-1})$ pour un paramètre $\delta > 0$ bien choisi.

3.

Étudier l'effet de la conjugaison par cette matrice diagonale sur les coefficients d'une matrice triangulaire.

Idées clés

•

Trigonalisation sur $\mathbb{C}$ (théorème du cours).

•

Action de la conjugaison par une matrice diagonale sur les coefficients.

•

Passage à la limite (ou choix d'un paramètre assez petit).

Résolution.

Première réduction : Trigonalisation classique. Puisque le corps de base est $\mathbb{C}$ , le polynôme caractéristique de la matrice $M$ est scindé. D'après le théorème de trigonalisation, il existe une matrice inversible $Q \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ et une matrice triangulaire supérieure $R = (r_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que : $M = Q R Q^{-1}$
Seconde réduction : Ajustement des coefficients par une matrice diagonale. Soit $\delta > 0$ un réel strictement positif. On définit la matrice diagonale : $D_\delta = \text{diag}(1, \delta, \delta^2, \dots, \delta^{n-1}) \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ Considérons la matrice $T = D_\delta^{-1} R D_\delta$ . Puisque $R$ est triangulaire supérieure et que $D_\delta$ est diagonale, la matrice $T$ est également triangulaire supérieure. Cherchons l'expression des coefficients $t_{i,j}$ de $T$ . Par calcul direct du produit matriciel, on obtient : $t_{i,j} = (D_\delta^{-1})_{i,i} \cdot r_{i,j} \cdot (D_\delta)_{j,j}$ En remplaçant par les valeurs des coefficients de $D_\delta$ , il vient : $\forall (i,j) \in \{1, \dots, n\}^2, t_{i,j} = \delta^{-(i-1)} \cdot r_{i,j} \cdot \delta^{j-1}$ Ce qui se simplifie en : $\boxed{ t_{i,j} = r_{i,j} \delta^{j-i} }$
Majoration des coefficients surdiagonaux. Observons les différents cas pour les indices $(i,j)$ $(i, j)$ :
- Si $i = j$ , $t_{i,i} = r_{i,i}$ . Les éléments diagonaux (les valeurs propres) restent inchangés.
- Si $i < j$ , l'exposant $j-i$ est un entier strictement positif ( $j-i \ge 1$ ).
Pour chaque couple $(i,j)$ $(i, j)$ tel que $i < j$ $i < j$ , on a $|t_{i,j}| = |r_{i,j}| \delta^{j-i}$ $∣ t_{i, j} ∣ = ∣ r_{i, j} ∣ δ^{j - i}$ . On souhaite que $|r_{i,j}| \delta^{j-i} \le \varepsilon$ $∣ r_{i, j} ∣ δ^{j - i} \leq ε$ pour tous les indices $i < j$ $i < j$ . Puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de tels coefficients, on peut poser :
$\delta = \min \left( 1, \min_{i < j, r_{i,j} \neq 0} \left( \frac{\varepsilon}{|r_{i,j}|} \right)^{1/(j-i)} \right)$
En choisissant un tel $\delta$ $δ$ (assez petit), on assure que pour tout $i < j$ $i < j$ :
$\boxed{ |t_{i,j}| \le \varepsilon }$
Conclusion. La matrice $M$ est semblable à $R$ , qui elle-même est semblable à $T$ . Par transitivité de la relation de similitude, $M$ est semblable à $T$ . La matrice de passage est $P = Q D_\delta$ .

Ne pas oublier que la matrice de passage finale est le produit des deux matrices de passage successives. Attention également à ne pas confondre $D_\delta$ et son inverse lors du calcul des coefficients.