Diagonalisabilité d'un polynôme de matrice scalaire-nilpotente

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice nilpotente.

On considère un complexe $\lambda \in \mathbb{C}$ et on définit la matrice $M = \lambda I_{n} + B$ .

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme. Démontrer que $P(M)$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un scalaire $\mu \in \mathbb{C}$ tel que $P(M) = \mu I_{n}$ .

1.

Utiliser la formule de Taylor pour les polynômes afin d'exprimer $P(\lambda I_n + B)$ en fonction des puissances de $B$ .

2.

Identifier la partie scalaire et la partie nilpotente de $P(M)$ .

3.

Se souvenir qu'une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle.

Idées clés

•

Décomposition d'une matrice en une partie scalaire et une partie nilpotente.

•

Propriété spectrale des matrices nilpotentes : leur seule valeur propre est $0$ .

•

Une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle.

1. Expression de $P(M)$ à l'aide de la formule de Taylor.

Puisque les matrices $\lambda I_n$ et $B$ commutent, nous pouvons appliquer la formule de Taylor pour le polynôme $P$ au voisinage de $\lambda$ :

P(X + \lambda) = \sum_{k=0}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} X^k

En évaluant cette égalité en la matrice $B$ , nous obtenons :

P(B + \lambda I_n) = \sum_{k=0}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} B^k

Isolons le premier terme de la somme ( $k=0$ ) :

P(M) = P(\lambda) I_n + \sum_{k=1}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} B^k

2. Analyse de la composante nilpotente.

Posons $N = \sum_{k=1}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} B^k$ .

Puisque $B$ est une matrice nilpotente, il existe un entier $p$ tel que $B^p = 0$ .

Toute combinaison linéaire de puissances de $B$ d'indice supérieur ou égal à $1$ est également une matrice nilpotente (car elle appartient à l'algèbre $\mathbb{C}[B]$ et n'a pas de terme constant en $B^0$ ). Plus précisément, $N$ commute avec $B$ .

Ainsi, nous avons la décomposition suivante :

\boxed{P(M) = P(\lambda) I_n + N   \text{où } N \text{ est nilpotente}}

3. Preuve de l'équivalence.

$(\Leftarrow)$ Si $P(M) = \mu I_n$ , alors $P(M)$ est une matrice scalaire. Toute matrice scalaire est trivialement diagonalisable.

$(\Rightarrow)$ Supposons que $P(M)$ soit diagonalisable.

Une matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si $A - \alpha I_n$ est diagonalisable pour tout $\alpha \in \mathbb{C}$ .

En choisissant $\alpha = P(\lambda)$ , on en déduit que la matrice suivante est diagonalisable :

P(M) - P(\lambda) I_n = N

Or, nous avons établi que $N$ est une matrice nilpotente.

Le seul polynôme annulateur scindé à racines simples d'une matrice nilpotente est le polynôme $X$ . En effet, si $N$ est nilpotente et diagonalisable, ses valeurs propres sont toutes nulles, donc sa forme diagonale est la matrice nulle.

Il en résulte nécessairement :

\boxed{N = 0}

Par conséquent, $P(M) = P(\lambda) I_n$ . En posant $\mu = P(\lambda)$ , on obtient bien la forme souhaitée.

\boxed{P(M) = \mu I_n}

Attention à ne pas oublier que la somme de deux matrices nilpotentes n'est nilpotente que si elles commutent. Ici, toutes les puissances $B^k$ commutent entre elles, ce qui justifie la nilpotence de $N$ .