Stabilité et image d'un endomorphisme nilpotent

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère un endomorphisme nilpotent $u \in \mathcal{L}(E)$ .

Soit $S$ un sous-espace vectoriel de $E$ que l'on suppose stable par $u$ , c'est-à-dire $u(S) \subset S$ .

On suppose par ailleurs que $E = S + \operatorname{Im}(u)$ .

Démontrer que $S = E$ .

1.

On pourra chercher à généraliser l'hypothèse en montrant par récurrence que $E = S + \operatorname{Im}(u^p)$ pour tout entier $p \in \mathbb{N}^*$ .

2.

Utiliser la définition de la nilpotence pour conclure à partir d'un certain rang $p$ .

Idées clés

•

Propagation de la propriété de somme par récurrence.

•

Exploitation de la stabilité de $S$ par $u$ .

•

Utilisation de l'indice de nilpotence pour annuler le terme d'image résiduel.

Résolution.

Montrons par récurrence que pour tout entier $k \in \mathbb{N}^*$ , on a la propriété $\mathcal{P}_k$ :

E = S + u^k(E)

Initialisation : Pour $k=1$ , l'égalité $E = S + \operatorname{Im}(u)$ est exactement l'hypothèse de l'énoncé. La propriété $\mathcal{P}_1$ est donc vérifiée.

Hérédité : Soit $k \in \mathbb{N}^*$ . Supposons que $\mathcal{P}_k$ est vraie, c'est-à-dire que $E = S + u^k(E)$ .

Appliquons l'endomorphisme $u$ à l'ensemble des éléments de cette égalité :

u(E) = u(S + u^k(E)) = u(S) + u^{k+1}(E)

Par hypothèse, le sous-espace $S$ est stable par $u$ . On a donc l'inclusion $u(S) \subset S$ . On en déduit :

u(E) \subset S + u^{k+1}(E)

Réutilisons maintenant l'hypothèse initiale $E = S + u(E)$ . En injectant l'inclusion précédente dans cette égalité, nous obtenons :

E \subset S + \left( S + u^{k+1}(E) \right)

Comme $S + S = S$ , il vient immédiatement :

E \subset S + u^{k+1}(E)

L'inclusion réciproque $S + u^{k+1}(E) \subset E$ étant évidente par structure d'espace vectoriel, on conclut que :

\boxed{E = S + u^{k+1}(E)}

La propriété $\mathcal{P}_{k+1}$ est donc démontrée, ce qui achève la récurrence.

Conclusion : Puisque $u$ est un endomorphisme nilpotent, il existe un entier $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $u^p = 0$ .

Pour cet entier $p$ , l'image de $u^p$ est réduite au vecteur nul :

\operatorname{Im}(u^p) = \{0_E\}

En appliquant la propriété démontrée par récurrence au rang $p$ , on obtient :

E = S + \{0_E\}

Ce qui nous permet de conclure :

\boxed{S = E}

Attention à ne pas oublier de justifier l'inclusion $u(S) \subset S$ . Sans la stabilité de $S$ par $u$ , l'étape de l'hérédité ne permettrait pas de "résorber" le terme $u(S)$ dans $S$ .