Indices de nilpotence possibles

Soit $n$ un entier naturel non nul et $\mathbb{K}$ un corps. On considère l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Déterminer l'ensemble des valeurs possibles pour l'indice de nilpotence d'une telle matrice, en justifiant rigoureusement que chaque valeur proposée est effectivement atteinte et qu'aucune autre n'est possible.

1.

Pour la majoration de l'indice, on pourra étudier la suite des dimensions des noyaux itérés $N_k = \ker(u^k)$ d'un endomorphisme nilpotent $u$ .

2.

Pour l'existence, on pourra construire des matrices par blocs ou utiliser la base canonique pour définir un endomorphisme de "décalage".

Idées clés

•

Stricte croissance de la suite des noyaux itérés pour un endomorphisme nilpotent.

•

Lien entre la dimension de l'espace et le nombre d'étapes de croissance.

•

Construction explicite d'une matrice de décalage (bloc élémentaire de nilpotence).

Résolution.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice nilpotente et $u$ l'endomorphisme de $E = \mathbb{K}^n$ qui lui est associé. On note $p$ l'indice de nilpotence de $A$ , c'est-à-dire le plus petit entier $k \ge 1$ tel que $u^k = 0$ .

1. Majoration de l'indice de nilpotence.

Considérons la suite des noyaux itérés $N_k = \ker(u^k)$ pour $k \in \{0, \dots, p\}$ . On sait que cette suite est croissante pour l'inclusion.

Montrons que pour tout $k \in \{0, \dots, p-1\}$ , l'inclusion $N_k \subset N_{k+1}$ est stricte. Supposons par l'absurde qu'il existe un rang $i < p$ tel que $N_i = N_{i+1}$ .

Soit $x \in N_{i+2}$ . On a $u^{i+2}(x) = 0$ , donc $u^{i+1}(u(x)) = 0$ . Ainsi, $u(x) \in N_{i+1}$ . Comme $N_{i+1} = N_i$ , on en déduit $u(x) \in N_i$ .

Par conséquent, $u^i(u(x)) = 0$ , d'où $u^{i+1}(x) = 0$ , ce qui signifie $x \in N_{i+1}$ . On a donc montré que $N_{i+2} = N_{i+1}$ . Par récurrence, la suite stationne à partir du rang $i$ .

Ceci est impossible car $N_p = E$ alors que $N_i \neq E$ (puisque $i < p$ et $p$ est l'indice de nilpotence). La suite des dimensions est donc strictement croissante :

0 = \dim(N_0) < \dim(N_1) < \dots < \dim(N_p) = n

Puisque chaque saut de dimension est au moins égal à 1, on a :

n = \dim(N_p) \ge p

L'indice de nilpotence $p$ est donc nécessairement compris entre $1$ et $n$ .

\boxed{ p \in \{1, 2, \dots, n\} }

2. Réalisabilité de chaque indice.

Soit $k \in \{1, \dots, n\}$ . Nous voulons construire une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ d'indice $k$ . Considérons la matrice $J_k \in \mathcal{M}_k(\mathbb{K})$ définie par :

J_k = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \vdots & \ddots & 1 & \ddots & \vdots \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \vdots & & & \ddots & 1 0 & \dots & \dots & \dots & 0 \end{pmatrix}

Si $(e_1, \dots, e_k)$ est la base canonique de $\mathbb{K}^k$ , l'endomorphisme associé envoie $e_k$ sur $e_{k-1}$ , ..., $e_2$ sur $e_1$ , et $e_1$ sur $0$ . On vérifie immédiatement que son indice de nilpotence est exactement $k$ .

On construit alors la matrice $A$ par blocs :

\boxed{ A = \begin{pmatrix} J_k & (0) (0) & (0)_{n-k} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) }

Où $(0)_{n-k}$ est la matrice nulle de taille $n-k$ . Le calcul par blocs montre que pour tout $m \in \mathbb{N}^*$ , $A^m$ possède $J_k^m$ comme bloc supérieur gauche et des zéros ailleurs.

L'indice de nilpotence de $A$ est donc égal à celui de $J_k$ , soit $k$ . Ainsi, toutes les valeurs entières de 1 à $n$ sont possibles.

Conclusion.

L'ensemble des indices de nilpotence possibles pour une matrice de taille $n$ est :

\boxed{ \mathcal{I} = \{1, 2, \dots, n\} }

L'erreur fréquente est d'oublier de démontrer que la suite des noyaux est strictement croissante. Sans cet argument de croissance stricte, on ne peut pas affirmer que $p \le n$ .