Propriétés de la matrice de Pascal

Résolution.

1. Étude de la diagonalisabilité La matrice $M$ est triangulaire inférieure puisque $\binom{i-1}{j-1} = 0$ dès que $j-1 > i-1$, c'est-à-dire $j > i$. Les coefficients diagonaux de $M$ sont les termes $M_{i,i} = \binom{i-1}{i-1} = 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n+1\}$. Le polynôme caractéristique de $M$ est donc :
   $$\chi_M(X) = \det(X I_{n+1} - M) = (X-1)^{n+1}$$

   L'unique valeur propre de $M$ est $\lambda = 1$. Si $M$ était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice $I_{n+1}$, ce qui impliquerait $M = I_{n+1}$. Or, pour $n \geq 1$, le coefficient $M_{2,1} = \binom{1}{0} = 1 \neq 0$.

   $$\boxed{\text{Pour } n \geq 1,   M \text{ n'est pas diagonalisable.}}$$

2. Indice de nilpotence de $N = M - I_{n+1}$ Soit $E = \mathbb{R}_n[X]$ et $\mathcal{B} = (1, X, X^2, \dots, X^n)$ la base canonique de $E$. Considérons l'endomorphisme $\Delta : P(X) \mapsto P(X+1) - P(X)$. On remarque que pour tout $j \in \{1, \dots, n+1\}$, l'image de $X^{j-1}$ par l'opérateur de translation $T: P(X) \mapsto P(X+1)$ est :
   $$T(X^{j-1}) = (X+1)^{j-1} = \sum_{k=0}^{j-1} \binom{j-1}{k} X^k$$
   La matrice $A$ de $T$ dans la base $\mathcal{B}$ est donc la matrice de Pascal supérieure $A = \left( \binom{j-1}{i-1} \right)_{i,j}$. On constate que $M$ est la transposée de $A$ ($M = A^T$). L'indice de nilpotence de $N = M - I$ est le même que celui de $A - I$ car la transposition conserve la puissance (et donc la nilpotence). $A-I$ est la matrice de l'opérateur $\Delta = T - Id$. Pour tout polynôme $P$ de degré $d \in \{1, \dots, n\}$, $\Delta(P)$ est de degré $d-1$ car :
   $$(X+1)^d - X^d = d X^{d-1} + \dots$$
   Par récurrence, $\Delta^k(P)$ est de degré $d-k$ si $k \leq d$, et nul sinon. Ainsi, pour tout $P \in \mathbb{R}_n[X]$, $\Delta^{n+1}(P) = 0$. Donc $N^{n+1} = 0$. Cependant, $\Delta^n(X^n) = n! \neq 0$, donc $N^n \neq 0$.
   $$\boxed{\text{L'ordre de nilpotence de } N \text{ est } n+1.}$$

3. Calcul de $M^{-1}$ Comme $M = A^T$, on a $M^{-1} = (A^{-1})^T$. $A$ est la matrice de $T : P(X) \mapsto P(X+1)$. L'endomorphisme inverse est $T^{-1} : P(X) \mapsto P(X-1)$. Calculons l'image de la base canonique par $T^{-1}$ :
   $$T^{-1}(X^{j-1}) = (X-1)^{j-1} = \sum_{k=0}^{j-1} \binom{j-1}{k} (-1)^{j-1-k} X^k$$
   Ainsi, les coefficients de la matrice $A^{-1}$ sont $(A^{-1})_{i,j} = \binom{j-1}{i-1} (-1)^{j-i}$. En transposant pour obtenir $M^{-1}$ :
   $$(M^{-1})_{i,j} = (A^{-1})_{j,i} = \binom{i-1}{j-1} (-1)^{i-j}$$
   On peut donc écrire explicitement :
   $$\boxed{M^{-1} = \left( (-1)^{i-j} \binom{i-1}{j-1} \right)_{1 \leq i, j \leq n+1}}$$