Nilpotence et indice d'un commutateur

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et deux matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On suppose que ces matrices vérifient la relation suivante :

A B^2 - B^2 A = B

Montrer que la matrice $B$ est nilpotente et que son indice de nilpotence est nécessairement un nombre impair.

1.

On pourra introduire l'endomorphisme de l'espace vectoriel des matrices $\Phi : M \mapsto AM - MA$ et étudier les puissances de $B$ .

2.

Montrer par récurrence que pour tout entier $k \geq 1$ , on a une relation entre $B^{2k-1}$ et $B^{2k}$ .

3.

Utiliser le fait qu'un endomorphisme en dimension finie ne possède qu'un nombre fini de valeurs propres.

4.

Raisonner par l'absurde sur la parité de l'indice de nilpotence.

Idées clés

•

Utilisation de l'opérateur de commutation $M \mapsto [A, M]$ .

•

Recherche de vecteurs propres pour cet opérateur dans l'algèbre des matrices.

•

Propriété de finitude du spectre en dimension finie.

Résolution.

Considérons l'application linéaire $\Phi : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par :

\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),   \Phi(M) = AM - MA

L'énoncé nous donne la relation fondamentale : $\Phi(B^2) = B$ .

Établissons une relation de récurrence sur les puissances de $B$ . Montrons par récurrence que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ : $\boxed{\Phi(B^{2k}) = k B^{2k-1}}$
Initialisation : Pour $k=1$ , $\Phi(B^2) = AB^2 - B^2A = B$ , ce qui correspond bien à $1 \cdot B^{2(1)-1}$ . Hérédité : Soit $k \geq 1$ tel que $\Phi(B^{2k}) = k B^{2k-1}$ . Calculons $\Phi(B^{2k+2})$ : \begin{align*} \Phi(B^{2k+2}) &= A B^{2k+2} - B^{2k+2} A
&= (A B^2 - B^2 A) B^{2k} + B^2 (A B^{2k} - B^{2k} A)
&= B \cdot B^{2k} + B^2 \cdot \Phi(B^{2k}) \end{align*}
En utilisant l'hypothèse de récurrence : \begin{align*} \Phi(B^{2k+2}) &= B^{2k+1} + B^2 (k B^{2k-1})
&= B^{2k+1} + k B^{2k+1}
&= (k+1) B^{2k+1} \end{align*} La propriété est donc démontrée par récurrence.
Montrons que $B$ est nilpotente. Supposons que pour tout $k \geq 1$ , $B^{2k-1} \neq 0$ . D'après la relation précédente, pour tout $k$ tel que $B^{2k-1} \neq 0$ , la matrice $B^{2k-1}$ est un vecteur propre de $\Phi$ associé à la valeur propre $k$ . Si $B^{2k-1}$ n'est jamais nulle, alors $\Phi$ possèderait une infinité de valeurs propres distinctes (tous les entiers naturels $k$ ). Or, $\Phi$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie $n^2$ , donc son spectre est fini (il contient au plus $n^2$ éléments). Il existe donc nécessairement un entier $k$ tel que : $\boxed{B^{2k-1} = 0}$ Ainsi, $B$ est nilpotente.
Déterminons la parité de l'indice de nilpotence. Soit $m$ l'indice de nilpotence de $B$ , c'est-à-dire le plus petit entier tel que $B^m = 0$ . Par définition, $B^{m-1} \neq 0$ . Supposons, par l'absurde, que $m$ soit pair. On peut alors écrire $m = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ . Comme $m$ est l'indice de nilpotence, on a $B^{2k} = 0$ . Reprenons la relation démontrée à la question 1 : $\Phi(B^{2k}) = k B^{2k-1}$ Puisque $B^{2k} = 0$ , on a $\Phi(B^{2k}) = \Phi(0) = 0$ . D'où : $k B^{2k-1} = 0$ Comme $k \geq 1$ , cela implique $B^{2k-1} = 0$ , soit $B^{m-1} = 0$ . Ceci contredit le fait que $m$ est l'indice de nilpotence de $B$ (le plus petit entier annulateur). L'indice de nilpotence $m$ ne peut donc pas être pair. On en conclut : $\boxed{m \text{ est impair}}$

Une erreur fréquente serait de vouloir utiliser la trace. Ici, $\text{Tr}(B) = \text{Tr}(AB^2 - B^2A) = 0$ car la trace d'un commutateur est nulle, ce qui montre que $B$ a une trace nulle, mais cela ne suffit pas à prouver la nilpotence (sauf si l'on montre que $\text{Tr}(B^k)=0$ pour tout $k$ , ce qui est plus long ici).