Nilpotence et indice d'un commutateur

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ , $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ , et $\alpha$ un complexe non nul. On suppose que ces matrices vérifient la relation suivante :

A B^{2} - B^{2} A = \alpha B

Montrer que la matrice $B$ est nilpotente et que son indice de nilpotence est un nombre impair.

1.

Pour la nilpotence, utiliser la trace des puissances de $B$ en exploitant la linéarité et la propriété de cyclicité $Tr(XY) = Tr(YX)$ .

2.

On rappelle qu'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est nilpotente si et seulement si $Tr(M^k) = 0$ pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ .

3.

Pour l'indice de nilpotence, on pourra utiliser la formule du commutateur d'une puissance : $[A, X^k] = \sum_{j=0}^{k-1} X^j [A, X] X^{k-1-j}$ .

4.

Raisonner par l'absurde en supposant que l'indice de nilpotence $p$ est pair, soit $p=2k$ .

Idées clés

•

Caractérisation de la nilpotence par la trace des puissances.

•

Utilisation de l'identité des commutateurs pour les puissances d'une matrice.

•

Raisonnement par l'absurde sur la parité de l'indice.

1. Montrons que $B$ est une matrice nilpotente.

D'après l'énoncé, nous avons la relation $\alpha B = [A, B^2]$ . Comme $\alpha \neq 0$ , on peut écrire :

B = \frac{1}{\alpha} (A B^2 - B^2 A)

Soit $k \in \mathbb{N}^*$ . Calculons la trace de $B^k$ . En utilisant l'expression ci-dessus :

Tr(B^k) = Tr\left( B \cdot B^{k-1} \right) = \frac{1}{\alpha} Tr\left( (A B^2 - B^2 A) B^{k-1} \right)

Par linéarité de la trace, on obtient :

Tr(B^k) = \frac{1}{\alpha} \left( Tr(A B^2 B^{k-1}) - Tr(B^2 A B^{k-1}) \right) = \frac{1}{\alpha} \left( Tr(A B^{k+1}) - Tr(B^2 (A B^{k-1})) \right)

En utilisant la propriété de cyclicité du commutateur ( $Tr(XY) = Tr(YX)$ ), nous avons :

Tr(B^2 (A B^{k-1})) = Tr((A B^{k-1}) B^2) = Tr(A B^{k+1})

En injectant ce résultat dans l'expression de $Tr(B^k)$ , il vient :

Tr(B^k) = \frac{1}{\alpha} \left( Tr(A B^{k+1}) - Tr(A B^{k+1}) \right) = 0

\boxed{ \forall k \in \mathbb{N}^*, Tr(B^k) = 0 }

Comme nous travaillons sur $\mathbb{C}$ , une matrice dont toutes les traces des puissances sont nulles est nilpotente. Ainsi, $B$ est nilpotente.

\vspace{0.5cm} 2. Montrons que l'indice de nilpotence de $B$ est impair.

Soit $p$ l'indice de nilpotence de $B$ . Par définition :

B^p = 0   \text{et}   B^{p-1} \neq 0

Supposons, par l'absurde, que $p$ soit un nombre pair. On peut alors poser $p = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ . Considérons le commutateur $[A, (B^2)^k]$ . D'une part, comme $B^{2k} = B^p = 0$ , nous avons :

[A, (B^2)^k] = [A, B^{2k}] = [A, 0] = 0

D'autre part, nous utilisons la formule classique du commutateur pour une puissance $X^k$ :

[A, X^k] = \sum_{j=0}^{k-1} X^j [A, X] X^{k-1-j}

En appliquant cette formule à $X = B^2$ , et sachant que $[A, B^2] = \alpha B$ , il vient :

[A, (B^2)^k] = \sum_{j=0}^{k-1} (B^2)^j (\alpha B) (B^2)^{k-1-j}

Simplifions les puissances de $B$ à l'intérieur de la somme :

(B^2)^j B (B^2)^{k-1-j} = B^{2j} \cdot B \cdot B^{2k-2-2j} = B^{2j + 1 + 2k - 2 - 2j} = B^{2k-1}

La somme devient alors :

[A, (B^2)^k] = \sum_{j=0}^{k-1} \alpha B^{2k-1} = k \alpha B^{2k-1}

En égalisant les deux expressions obtenues pour $[A, (B^2)^k]$ , nous en déduisons :

k \alpha B^{2k-1} = 0

Puisque $\alpha \neq 0$ et $k \ge 1$ (car $B$ est nilpotente d'indice $p \ge 1$ ), on en conclut que :

\boxed{ B^{2k-1} = 0 }

Or, nous avons supposé que $p = 2k$ était l'indice de nilpotence, ce qui implique $B^{p-1} = B^{2k-1} \neq 0$ . Nous obtenons une contradiction. L'indice de nilpotence $p$ ne peut donc pas être pair.

\boxed{ p \text{ est un nombre impair} }

Une erreur classique consiste à affirmer que $Tr(B)=0$ implique $B$ nilpotente. C'est faux (penser à une matrice de trace nulle mais non nilpotente comme $diag(1,-1)$ ). Il est impératif de montrer que $Tr(B^k)=0$ pour toutes les puissances $k$ (ou au moins jusqu'à $n$ ).