Traces et caractérisation des matrices nilpotentes

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
1. $A$ est une matrice nilpotente.
2. $A^{n} = 0_{n}$ .
3. Le spectre de $A$ est réduit à $\{0\}$ .
4. $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.
5. Pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , $\operatorname{Tr}(A^{k}) = 0$ .
6. Pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$ , $\operatorname{Tr}(A^{k}) = 0$ .
Soit $(A, B) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})^{2}$ . Montrer que $A$ et $B$ possèdent le même polynôme caractéristique si et seulement si : $\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \operatorname{Tr}(A^{k}) = \operatorname{Tr}(B^{k})$
Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice telle que $\operatorname{Tr}(A^{k}) = 0$ pour tout $k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ et $\operatorname{Tr}(A^{n}) \neq 0$ . Montrer que $A$ est nécessairement diagonalisable.

1.

Pour la question 1, utiliser la trigonalisation de $A$ pour lier les valeurs propres et les traces des puissances. Pour l'implication $(v) \implies (iii)$ , introduire les valeurs propres non nulles et utiliser un système de Vandermonde.

2.

Pour la question 2, exprimer les coefficients du polynôme caractéristique en fonction des traces (formules de Newton) ou utiliser l'équivalence des spectres.

3.

Pour la question 3, déterminer le polynôme caractéristique de $A$ à l'aide des hypothèses sur les traces, puis vérifier si ses racines sont simples.

Idées clés

•

Lien entre spectre et trace : si $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$ , alors $\operatorname{Tr}(A^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$ .

•

Système de Vandermonde pour prouver que des scalaires sont nuls.

•

Formules de Newton reliant les polynômes symétriques élémentaires aux sommes de puissances.

Résolution.

Les équivalences classiques :
- $(i) \iff (ii) \iff (iii)$ sont des résultats de cours. Si $A$ est nilpotente, son polynôme minimal est de la forme $X^p$ , donc sa seule valeur propre est $0$ . Par Cayley-Hamilton, $A^n=0$ .
- $(iii) \iff (iv)$ : $A$ est trigonalisable sur $\mathbb{C}$ . Si $\text{Sp}(A)=\{0\}$ , ses éléments diagonaux sont tous nuls.
- $(iv) \implies (vi) \implies (v)$ : Si $A$ est triangulaire supérieure stricte, $A^k$ l'est aussi, donc ses traces sont nulles.
Preuve de $(v) \implies (iii)$ : Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ les valeurs propres distinctes non nulles de $A$ , de multiplicités respectives $m_1, \dots, m_p$ . Si $A$ n'est pas nilpotente, $p \geq 1$ . Par hypothèse :
$\forall k \in \llbracket 1, p \rrbracket \subset \llbracket 1, n \rrbracket, \sum_{j=1}^p m_j \lambda_j^k = 0$
Ceci se réécrit comme un système linéaire sur les $m_j$ :
$\begin{pmatrix} \lambda_1 & \dots & \lambda_p \vdots & & \vdots \lambda_1^p & \dots & \lambda_p^p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m_1 \vdots m_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \vdots 0 \end{pmatrix}$
La matrice est de type Vandermonde (après factorisation de $\lambda_j$ dans chaque colonne). Comme les $\lambda_j$ sont distincts et non nuls, le déterminant est non nul. On en déduit $\boxed{m_1 = \dots = m_p = 0}$ , ce qui contredit l'existence de valeurs propres non nulles.
$\boxed{\text{Ainsi, } \operatorname{Sp}(A) = \{0\} \text{ et } A \text{ est nilpotente.}}$
Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ et $\mu_1, \dots, \mu_n$ celles de $B$ . $A$ et $B$ ont même polynôme caractéristique si et seulement si elles ont le même spectre (avec multiplicités). D'après les identités de Newton, les coefficients du polynôme caractéristique (polynômes symétriques élémentaires) sont déterminés de manière unique par les sommes de puissances $S_k = \sum \lambda_i^k = \operatorname{Tr}(A^k)$ pour $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ . L'équivalence est donc immédiate.
Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ . Les hypothèses impliquent que pour $k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ , $\sum \lambda_i^k = 0$ . D'après les formules de Newton, les coefficients $e_1, \dots, e_{n-1}$ du polynôme caractéristique $\chi_A = X^n - e_1 X^{n-1} + \dots + (-1)^n e_n$ sont nuls. On a donc : $\chi_A(X) = X^n + (-1)^n e_n$
Comme $\operatorname{Tr}(A^n) = \sum \lambda_i^n \neq 0$ , on a $e_n \neq 0$ (car $e_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}(\operatorname{Tr}(A^n) + \text{termes en } e_k \text{ avec } k < n)$ ). Les racines de $\chi_A(X) = X^n - c$ avec $c \neq 0$ sont les racines $n$ -ièmes de $c$ . Ces racines sont distinctes.

$\boxed{\chi_A \text{ possède } n \text{ racines distinctes, donc } A \text{ est diagonalisable.}}$

L'équivalence avec la trace n'est vraie qu'en caractéristique nulle (ou si la caractéristique du corps est supérieure à $n$ ). Sur un corps de caractéristique $p \leq n$ , la matrice identité $I_p$ a une trace nulle mais n'est pas nilpotente.