Espace engendré par les matrices nilpotentes

Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geq 2$ . On considère l'espace vectoriel $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ est un corps de caractéristique nulle (par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

On note $\mathcal{N} = \{ M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \mid M \text{ est nilpotente} \}$ . Déterminer le sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ engendré par $\mathcal{N}$ .
On note $\mathcal{N}_2 = \{ M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \mid M^2 = 0 \}$ . Déterminer $\text{Vect}(\mathcal{N}_2)$ et comparer ce résultat au précédent.

1.

Rappeler le lien entre la trace d'une matrice et sa nilpotence.

2.

Identifier les matrices élémentaires $E_{i,j}$ qui sont nilpotentes.

3.

Pour les matrices diagonales, chercher à exprimer $E_{i,i} - E_{j,j}$ comme une combinaison linéaire de matrices de carré nul. On pourra s'inspirer du cas $n=2$ en cherchant une matrice de la forme $\begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}$ de trace nulle et de déterminant nul.

Idées clés

•

Inclusion facile : toute matrice nilpotente a une trace nulle, et la trace est une forme linéaire.

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Base de l'hyperplan des matrices de trace nulle : les $E_{i,j}$ ( $i \neq j$ ) et les $E_{1,1} - E_{i,i}$ .

•

Décomposition explicite des matrices diagonales de trace nulle en somme de matrices de carré nul.

Résolution.

Soit $V = \text{Vect}(\mathcal{N})$ $V = Vect (N)$ le sous-espace engendré par les matrices nilpotentes. Étape 1 : Inclusion $V \subseteq \text{ker$ (\text{Tr})V⊆ker(Tr).} Soit $M \in \mathcal{N}$ $M \in N$ . Il existe $k \in \mathbb{N}^*$ $k \in N^{*}$ tel que $M^k = 0$ $M^{k} = 0$ . Le polynôme $X^k$ $X^{k}$ est un polynôme annulateur de $M$ $M$ . Ainsi, les valeurs propres de $M$ $M$ dans une clôture algébrique de $\mathbb{K}$ $K$ sont toutes nulles. La trace d'une matrice étant la somme de ses valeurs propres (comptées avec multiplicité), on en déduit que :
$\forall M \in \mathcal{N}, \text{Tr}(M) = 0$
Comme $\text{Tr}$ $Tr$ est une forme linéaire, son noyau $\text{ker}(\text{Tr})$ $ker (Tr)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ $M_{n} (K)$ . Par définition du sous-espace engendré par une partie :
$\boxed{ V \subseteq \text{ker}(\text{Tr}) }$
On rappelle que $\text{ker}(\text{Tr})$ $ker (Tr)$ est un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ $M_{n} (K)$ , donc de dimension $n^2 - 1$ $n^{2} - 1$ .
Étape 2 : Inclusion $\text{ker$ (\text{Tr}) \subseteq V $ker (Tr) \subseteq V$ .} Pour montrer cette inclusion, il suffit de montrer qu'une base de $\text{ker}(\text{Tr})$ est contenue dans $V$ . Une base classique de $\text{ker}(\text{Tr})$ est constituée de :
- Les matrices élémentaires $E_{i,j}$ avec $i \neq j$ .
- Les matrices $H_i = E_{1,1} - E_{i,i}$ pour $i \in \{2, \dots, n\}$ .
D'une part, si $i \neq j$ $i \neq = j$ , la matrice $E_{i,j}$ $E_{i, j}$ est nilpotente car $E_{i,j}^2 = 0$ $E_{i, j}^{2} = 0$ . Donc $E_{i,j} \in \mathcal{N} \subseteq V$ $E_{i, j} \in N \subseteq V$ . D'autre part, considérons le cas des matrices $H_i$ $H_{i}$ . Pour $n=2$ $n = 2$ , on remarque que :
$\begin{pmatrix} 1 & 1 -1 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$
On peut écrire la décomposition suivante pour tout $i \in \{2, \dots, n\}$ $i \in {2, \dots, n}$ :
$E_{1,1} - E_{i,i} = \underbrace{(E_{1,1} + E_{1,i} - E_{i,1} - E_{i,i})}_{A_i} - E_{1,i} + E_{i,1}$
Vérifions la nilpotence de $A_i$ $A_{i}$ :
$A_i^2 = (E_{1,1} + E_{1,i} - E_{i,1} - E_{i,i})(E_{1,1} + E_{1,i} - E_{i,1} - E_{i,i})$

$A_i^2 = E_{1,1} + E_{1,i} - E_{1,1} - E_{1,i} - E_{i,1} - E_{i,i} + E_{i,1} + E_{i,i} = 0$
Ainsi, $A_i$ $A_{i}$ est de carré nul, donc $A_i \in \mathcal{N}$ $A_{i} \in N$ . Comme $E_{1,i}$ $E_{1, i}$ et $E_{i,1}$ $E_{i, 1}$ sont aussi dans $\mathcal{N}$ $N$ (pour $i \neq 1$ $i \neq = 1$ ), on en déduit par combinaison linéaire que :
$\forall i \in \{2, \dots, n\}, H_i \in V$
L'hyperplan $\text{ker}(\text{Tr})$ $ker (Tr)$ est donc engendré par des matrices nilpotentes. Conclusion :
$\boxed{ \text{Vect}(\mathcal{N}) = \text{ker}(\text{Tr}) }$
Soit $V_2 = \text{Vect}(\mathcal{N}_2)$ $V_{2} = Vect (N_{2})$ . Comme toute matrice de carré nul est nilpotente, on a immédiatement l'inclusion $V_2 \subseteq V$ $V_{2} \subseteq V$ . Or, dans la démonstration précédente, nous n'avons utilisé que des matrices de carré nul pour engendrer la base de $\text{ker}(\text{Tr})$ $ker (Tr)$ :
- $E_{i,j}$ est de carré nul pour $i \neq j$ .
- $A_i$ , $E_{1,i}$ et $E_{i,1}$ sont de carré nul.
Par conséquent, toute matrice de trace nulle est une combinaison linéaire de matrices de carré nul.
$\boxed{ \text{Vect}(\mathcal{N}_2) = \text{ker}(\text{Tr}) }$
On observe que le sous-espace engendré est identique : il suffit de considérer les matrices d'indice de nilpotence 2 pour obtenir tout l'hyperplan.

Attention à ne pas oublier que la trace est nulle seulement si le corps est de caractéristique nulle ou si la caractéristique ne divise pas $n$ dans certains contextes. En CPGE, on travaille sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , donc la question ne se pose pas, mais il est crucial d'utiliser la linéarité de la trace.