Sous-espace engendré par les matrices nilpotentes

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ . On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ de caractéristique nulle (par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

On désigne par $\mathcal{N}$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Déterminer, en le justifiant précisément, le sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ engendré par $\mathcal{N}$ , noté $\text{Vect}(\mathcal{N})$ .

1.

Commencer par montrer que toute matrice nilpotente a une trace nulle pour établir une première inclusion.

2.

Identifier une base de l'hyperplan des matrices de trace nulle, composée de matrices "simples" (matrices de la base canonique hors diagonale et matrices de type $E_{ii} - E_{j,j}$ ).

3.

Montrer que chaque élément de cette base peut s'écrire comme une combinaison linéaire de matrices nilpotentes.

4.

Pour les matrices diagonales de trace nulle, utiliser le cas $n=2$ comme brique de base.

Idées clés

•

Utilisation de la linéarité de la trace et de la propriété spectrale des nilpotents.

•

Décomposition d'une matrice de trace nulle sur une base adaptée de $\ker(\text{Tr})$ .

•

Astuce de décomposition de la matrice $E_{11} - E_{22}$ en somme de trois matrices nilpotentes.

Résolution.

Soit $H = \ker(\text{Tr})$ l'ensemble des matrices de trace nulle. $H$ est un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , donc :

\dim(H) = n^2 - 1

1. Montrons l'inclusion $\text{Vect$ (\mathcal{N}) \subset H $Vect (N) \subset H$ .}

Soit $N \in \mathcal{N}$ une matrice nilpotente.

Ses valeurs propres dans une extension de corps (par exemple $\mathbb{C}$ ) sont toutes nulles.

Comme la trace est la somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité), on en déduit que $\text{Tr}(N) = 0$ .

\forall N \in \mathcal{N},   \text{Tr}(N) = 0

Comme $H = \ker(\text{Tr})$ est un sous-espace vectoriel, toute combinaison linéaire d'éléments de $\mathcal{N}$ appartient encore à $H$ . Par conséquent :

\boxed{\text{Vect}(\mathcal{N}) \subset \ker(\text{Tr})}

2. Montrons l'inclusion $\ker(\text{Tr$ ) \subset \text{Vect}(\mathcal{N}) $ker (Tr) \subset Vect (N)$ .}

Pour prouver cette inclusion, il suffit de montrer que les éléments d'une base de $H$ appartiennent à $\text{Vect}(\mathcal{N})$ . Une base classique de $H$ est constituée des deux familles de matrices suivantes :

Les matrices $E_{i,j}$ avec $i \neq j$ (au nombre de $n^2 - n$ ).
Les matrices $H_k = E_{k,k} - E_{k+1,k+1}$ pour $k \in \{1, \dots, n-1\}$ (au nombre de $n-1$ ).

Cas des matrices hors diagonale :

Pour tout $i \neq j$ , la matrice $E_{i,j}$ est triangulaire (supérieure ou inférieure) stricte, donc elle est nilpotente. Ainsi, $E_{i,j} \in \mathcal{N}$ , ce qui implique :

\forall i \neq j,   E_{i,j} \in \text{Vect}(\mathcal{N})

Cas des matrices diagonales de trace nulle :

Il suffit de montrer que pour tout $k$ , $E_{k,k} - E_{k+1,k+1} \in \text{Vect}(\mathcal{N})$ . Par un argument de similitude (en utilisant des matrices de permutation), il suffit de le prouver pour $k=1$ , soit pour la matrice $E_{11} - E_{22}$ .

Considérons les matrices suivantes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ :

A = E_{11} + E_{12} - E_{21} - E_{22},   B = E_{12},   C = E_{21}

On remarque que $B$ et $C$ sont nilpotentes (matrices élémentaires hors diagonale).

Calculons $A^2$ . La sous-matrice de taille $2 \times 2$ en haut à gauche de $A$ est $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 -1 & -1 \end{pmatrix}$ . On calcule $M^2 = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-1 -1+1 & -1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Comme les autres coefficients de $A$ sont nuls, $A$ est nilpotente ( $A^2 = 0$ ).

On peut alors écrire la relation suivante :

\boxed{E_{11} - E_{22} = A - B + C}

Puisque $A, B$ et $C$ sont nilpotentes, la matrice $E_{11} - E_{22}$ appartient à $\text{Vect}(\mathcal{N})$ .

Par récurrence (ou par simple glissement d'indices), toutes les matrices $E_{k,k} - E_{k+1,k+1}$ sont dans $\text{Vect}(\mathcal{N})$ .

Conclusion :

Toutes les matrices d'une base de $\ker(\text{Tr})$ sont dans $\text{Vect}(\mathcal{N})$ . On a donc l'égalité :

\boxed{\text{Vect}(\mathcal{N}) = \ker(\text{Tr})}

L'ensemble $\mathcal{N}$ des matrices nilpotentes n'est absolument pas un sous-espace vectoriel. Par exemple, $E_{1,2}$ et $E_{2,1}$ sont nilpotentes, mais leur somme $\begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $1$ et $-1$ , elle n'est donc pas nilpotente.