Nilpotence d'un commutateur et puissances

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . On définit leur commutateur par $C = AB - BA$ et on suppose que la condition suivante est vérifiée :

AC = 0

Démontrer par récurrence que pour tout entier $k \in \mathbb{N}^{*}$ , on a l'égalité : $(AB)^{k} = A^{k} B^{k}$
En exploitant la trace des puissances de $C$ , établir que la matrice $C$ est nilpotente.

1.

Pour la question 1, commencer par établir la relation de commutation intermédiaire $(AB)A^k = A^{k+1}B$ en utilisant l'hypothèse $AC=0$ .

2.

Pour la question 2, utiliser la propriété de cyclicité de la trace ( $\text{Tr}(XY) = \text{Tr}(YX)$ ) pour calculer $\text{Tr}(C^k)$ pour tout $k \ge 1$ . Se rappeler qu'une matrice complexe est nilpotente si et seulement si les traces de toutes ses puissances (jusqu'à $n$ ) sont nulles.

Idées clés

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Traduction de l'hypothèse : $AC=0 \iff A(AB-BA)=0 \iff A^2B = ABA$ .

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Propriété cyclique de la trace : $\text{Tr}(XYZ) = \text{Tr}(ZXY) = \text{Tr}(YZX)$ .

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Caractérisation de la nilpotence sur $\mathbb{C}$ par les traces des puissances.

Résolution.

L'hypothèse $AC=0$ $A C = 0$ se réécrit en utilisant la définition de $C$ $C$ :
$A(AB - BA) = 0 \implies A^2 B - ABA = 0 \implies \boxed{A^2 B = ABA}$
Montrons d'abord par récurrence sur $k \in \mathbb{N}^*$ $k \in N^{*}$ la propriété intermédiaire $\mathcal{P}_k : (AB) A^k = A^{k+1} B$ $P_{k} : (A B) A^{k} = A^{k + 1} B$ .
- Initialisation ( $k=1$ ) : $(AB)A = ABA$ . D'après la relation établie ci-dessus, $ABA = A^2 B$ . Donc $\mathcal{P}_1$ est vraie.
- Hérédité : Soit $k \ge 1$ . Supposons $\mathcal{P}_k$ vraie. Alors : $(AB) A^{k+1} = ((AB) A^k) A$ Par hypothèse de récurrence : $(AB) A^{k+1} = (A^{k+1} B) A = A^k (ABA)$ En utilisant à nouveau $ABA = A^2 B$ : $(AB) A^{k+1} = A^k (A^2 B) = A^{k+2} B$ L'hérédité est prouvée.
Démontrons maintenant par récurrence le résultat final $\mathcal{Q}_k : (AB)^k = A^k B^k$ $Q_{k} : (A B)^{k} = A^{k} B^{k}$ .
- Initialisation ( $k=1$ ) : $AB = AB$ , trivial.
- Hérédité : Soit $k \ge 1$ . Supposons $\mathcal{Q}_k$ vraie. $(AB)^{k+1} = (AB) (AB)^k = (AB) A^k B^k$ D'après la propriété $\mathcal{P}_k$ démontrée précédemment, $(AB) A^k = A^{k+1} B$ . On en déduit : $(AB)^{k+1} = (A^{k+1} B) B^k = A^{k+1} B^{k+1}$
On a donc bien :
$\boxed{\forall k \in \mathbb{N}^*, (AB)^k = A^k B^k}$
Pour montrer que $C$ est nilpotente, calculons $\text{Tr}(C^k)$ pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ . Cas $k=1$ : $\text{Tr}(C) = \text{Tr}(AB - BA) = \text{Tr}(AB) - \text{Tr}(BA) = 0$ par linéarité et cyclicité de la trace. Cas $k \ge 2$ : Développons $C^k$ en utilisant la définition de $C$ : $C^k = C^{k-1}(AB - BA) = C^{k-1}AB - C^{k-1}BA$ Par linéarité de la trace : $\text{Tr}(C^k) = \text{Tr}(C^{k-1}AB) - \text{Tr}(C^{k-1}BA)$ En utilisant la cyclicité $\text{Tr}(XYZ) = \text{Tr}(ZXY)$ avec $X=C^{k-1}$ , $Y=A$ et $Z=B$ pour le premier terme : $\text{Tr}(C^{k-1}AB) = \text{Tr}(BC^{k-1}A)$ De même pour le second terme avec $X=C^{k-1}$ , $Y=B$ et $Z=A$ : $\text{Tr}(C^{k-1}BA) = \text{Tr}(AC^{k-1}B)$ Or, puisque $AC=0$ , on a par récurrence immédiate $AC^{k-1} = (AC)C^{k-2} = 0$ pour tout $k \ge 2$ . Ainsi, $\text{Tr}(AC^{k-1}B) = \text{Tr}(0 \cdot B) = 0$ . De plus, $\text{Tr}(BC^{k-1}A) = \text{Tr}(ABC^{k-1})$ par cyclicité, et $ABC^{k-1} = (C+BA)C^{k-1} = C^k + BAC^{k-1}$ . Cette voie semble redondante. Reprenons plus simplement : $\text{Tr}(C^k) = \text{Tr}(C^{k-1}AB) - \text{Tr}(C^{k-1}BA) = \text{Tr}(AC^{k-1}B) - \text{Tr}(AC^{k-1}B) = 0$ (en utilisant la cyclicité $\text{Tr}(C^{k-1}AB) = \text{Tr}(ABC^{k-1}) = \text{Tr}(AC^{k-1}B)$ ). Comme $AC^{k-1} = 0$ , les deux termes s'annulent séparément : $\forall k \in \{1, \dots, n\}, \boxed{\text{Tr}(C^k) = 0}$ D'après le cours sur la réduction dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , une matrice dont les traces de toutes les puissances de $1$ à $n$ sont nulles est nilpotente. $\boxed{C \text{ est nilpotente}}$

Attention à ne pas supposer que $AC=0 \implies CA=0$ . En général, le commutateur de $A$ et $C$ n'est pas nul. Il faut bien utiliser la cyclicité de la trace pour faire apparaître le produit $AC$ à l'intérieur de la trace.