Commutant d'une matrice à coefficients rationnels

On considère la matrice $A$ suivante, appartenant à $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 2 & -3 & 2 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Déterminer l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ qui commutent avec $A$ . Cet ensemble, noté $\mathcal{C}_{\mathbb{R}}(A)$ , est appelé le commutant de $A$ dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ .
On suppose maintenant que l'on travaille sur le corps des rationnels. Déterminer $\mathcal{C}_{\mathbb{Q}}(A)$ , c'est-à-dire l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{Q})$ commutant avec $A$ .

1.

Commencer par calculer le polynôme caractéristique de $A$ pour déterminer ses valeurs propres.

2.

Utiliser le lien entre le caractère diagonalisable (ou cyclique) d'une matrice et la structure de son commutant.

3.

Se rappeler que pour une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ , le commutant est égal à l'algèbre des polynômes en $A$ si et seulement si le polynôme minimal de $A$ est égal à son polynôme caractéristique.

4.

Vérifier si le caractère cyclique de $A$ dépend du corps de base considéré.

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique $\chi_A$ .

•

Étude de la diagonalisabilité et du caractère cyclique.

•

Relation $\mathcal{C}(A) = K[A]$ pour les matrices dont les valeurs propres sont simples.

1. Étude du commutant sur $\mathbb{R$ $R$ .}

Calculons tout d'abord le polynôme caractéristique de $A$ , défini par $\chi_A(X) = \det(XI_3 - A)$ .

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-2 & 2 & -1 -2 & X+3 & -2 -1 & -2 & X \end{vmatrix}

En effectuant l'opération sur les colonnes $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , on obtient :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-1 & 2 & -1 X-1 & X+3 & -2 X-3 & -2 & X \end{vmatrix}

En effectuant $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , on fait apparaître un zéro :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-1 & 2 & -1 0 & X+1 & -1 X-3 & -2 & X \end{vmatrix}

En développant, on trouve après simplification :

\chi_A(X) = (X-1)(X^2 + 2X - 5)

Cherchons les racines du trinôme $X^2 + 2X - 5$ . Le discriminant est $\Delta = 4 - 4(1)(-5) = 24 = (2\sqrt{6})^2$ . Les racines sont donc $\lambda_1 = -1 + \sqrt{6}$ et $\lambda_2 = -1 - \sqrt{6}$ .

Le spectre de $A$ dans $\mathbb{R}$ est :

\boxed{\text{Sp}_{\mathbb{R}}(A) = \{1, -1 + \sqrt{6}, -1 - \sqrt{6}\}}

Comme $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ possède trois valeurs propres réelles distinctes, $A$ est diagonalisable.

Pour une matrice diagonalisable à valeurs propres simples, le commutant est exactement l'ensemble des polynômes en cette matrice de degré inférieur ou égal à $n-1$ .

On en déduit que le commutant de $A$ dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ est :

\boxed{\mathcal{C}_{\mathbb{R}}(A) = \text{Vect}(I_3, A, A^2) = \{ aI_3 + bA + cA^2 \mid (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \}}

2. Étude du commutant sur $\mathbb{Q$ $Q$ .}

Sur $\mathbb{Q}$ , les valeurs propres $-1 \pm \sqrt{6}$ ne sont pas des éléments du corps. Cependant, la structure du commutant est liée au caractère cyclique de la matrice.

Une matrice est dite cyclique si son polynôme minimal $\pi_A$ est égal à son polynôme caractéristique $\chi_A$ .

Le polynôme minimal $\pi_A$ ne dépend pas du corps d'extension considéré (il est identique sur $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Or, sur $\mathbb{C}$ , $\chi_A$ possède trois racines simples, donc $\pi_A = \chi_A$ . La matrice $A$ est donc cyclique sur $\mathbb{Q}$ .

Le théorème du commutant affirme que pour toute matrice cyclique, le commutant est égal à l'algèbre des polynômes en cette matrice.

Ainsi, le commutant sur $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des polynômes en $A$ à coefficients rationnels :

\boxed{\mathcal{C}_{\mathbb{Q}}(A) = \mathbb{Q}[A] = \{ aI_3 + bA + cA^2 \mid (a,b,c) \in \mathbb{Q}^3 \}}

Une erreur classique consiste à penser que si une matrice n'est pas diagonalisable sur un corps $K$ , son commutant est plus "gros" que $K[A]$ . C'est faux : la condition nécessaire et suffisante est que la matrice soit cyclique ( $\pi_A = \chi_A$ ), ce qui est plus faible que d'être diagonalisable à spectre simple.